Come determinare la matrice rappresentativa?
Ciao ragazzi, non ho capito come determinare la matrice rappresentativa in una determinata situazione come sotto...
$ F:R^4->R^4 $
F(0,1,1)=(5,2,3)
F(2,0,0)=(2,2,0)
F(1,1,0)=(2,1,1)
La matrice rappresentativa risultante è : $ ( ( 1 , 1 , 4 ),( 1 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 2 ) ) $
Qualcuno potrebbe spiegarmi come determinarla? grazie!
Inoltre: se devo trovare la base dell'immagine di un'applicazione lineare è questo il metodo che devo usare?: riduco a scalini la matrice trasposta di quella formata dai coefficienti dei vari vettori, una volta ridotta i vettori rimanenti formano una base. Ve lo chiedo perché in molti esercizi i vettori non mi corrispondono...
$ F:R^4->R^4 $
F(0,1,1)=(5,2,3)
F(2,0,0)=(2,2,0)
F(1,1,0)=(2,1,1)
La matrice rappresentativa risultante è : $ ( ( 1 , 1 , 4 ),( 1 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 2 ) ) $
Qualcuno potrebbe spiegarmi come determinarla? grazie!
Inoltre: se devo trovare la base dell'immagine di un'applicazione lineare è questo il metodo che devo usare?: riduco a scalini la matrice trasposta di quella formata dai coefficienti dei vari vettori, una volta ridotta i vettori rimanenti formano una base. Ve lo chiedo perché in molti esercizi i vettori non mi corrispondono...
Risposte
@Mandiatutti,
mmmm io la conoscevo con nome "matrice associata a.. " e cmq puoi vedere qui, nel tuo caso le due basi, una del dominio e l'altra del codominio, potrebbero essere, per esempio, quella canonica ..
"Mandiatutti":
Ciao ragazzi, non ho capito come determinare la matrice rappresentativa in una determinata situazione come sotto...
$ F:R^4->R^4 $
F(0,1,1)=(5,2,3)
F(2,0,0)=(2,2,0)
F(1,1,0)=(2,1,1)
La matrice rappresentativa risultante è : $ ( ( 1 , 1 , 4 ),( 1 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 2 ) ) $
Qualcuno potrebbe spiegarmi come determinarla? grazie!
Inoltre: se devo trovare la base dell'immagine di un'applicazione lineare è questo il metodo che devo usare?: riduco a scalini la matrice trasposta di quella formata dai coefficienti dei vari vettori, una volta ridotta i vettori rimanenti formano una base. Ve lo chiedo perché in molti esercizi i vettori non mi corrispondono...
mmmm io la conoscevo con nome "matrice associata a.. " e cmq puoi vedere qui, nel tuo caso le due basi, una del dominio e l'altra del codominio, potrebbero essere, per esempio, quella canonica ..
@garnak.olegovitc
Grazie di rispondere a tutte le mie domande!
però allora penso di non aver capito un concetto: praticamente devo attuare un cambiamento di base? io avevo capito che i vettori (0,1,1),(2,0,0),(1,1,0) sono le controimmagini dopo aver applicato la funzione F... Nonostante mi sia sforzato di capire ciò che wiki mi stava dicendo non ci sono riuscito e adesso ho ancora più casino di prima... 
Forse se la metto su questo piano è più chiaro:
data un'applicazione lineare classica (x,y,z)->(x+y+z,x+y,z) non ci sono problemi a determinare la matrice rappresentativa, ma se la stessa cosa me la scrivono così (2x,4y,3z)->(x+y+z,x+y,z) vado in palla, non riesco a capire come trovare la matrice rappresentativa. P.s. I valori che ho messo ai vettori sono puramente casuali ed inventati al momento...
Grazie di rispondere a tutte le mie domande!
però allora penso di non aver capito un concetto: praticamente devo attuare un cambiamento di base? io avevo capito che i vettori (0,1,1),(2,0,0),(1,1,0) sono le controimmagini dopo aver applicato la funzione F... Nonostante mi sia sforzato di capire ciò che wiki mi stava dicendo non ci sono riuscito e adesso ho ancora più casino di prima... Forse se la metto su questo piano è più chiaro:
data un'applicazione lineare classica (x,y,z)->(x+y+z,x+y,z) non ci sono problemi a determinare la matrice rappresentativa, ma se la stessa cosa me la scrivono così (2x,4y,3z)->(x+y+z,x+y,z) vado in palla, non riesco a capire come trovare la matrice rappresentativa. P.s. I valori che ho messo ai vettori sono puramente casuali ed inventati al momento...
@Mandiatutti,
se i tre vettori per ipotesi sono base allora la prima colonna della matrice sono le coordinate dell'immagine del primo vettore \( (0,1,1) \), la seconda sono le coordinate dell'immagine del secondo vettore \( (2,0,0) \), la terza sono le coordinate dell'immagine del terzo vettore \( (1,1,0) \), ovviamente queste coordinate sono sempre rispetto alla base \( (0,1,1),(2,0,0),(1,1,0) \) (sempre se base sia
) (perdonami ma oggi non mi va di fare i calcoli.. spero che concettualmente ti arrivi il senso)... se invece \( (0,1,1),(2,0,0),(1,1,0) \) base non è allora, almeno genera \( \Bbb{R}^3 \), quindi gli elementi della base canonica di \( \Bbb{R}^3\) sono combinazione lineare di questi, poi ti calcoli le immagini della base canonica appena trovata, e sapendo che le coordinate di un vettore rispetto alla base canonica sono "uguali al vettore" (in questo caso il vettore è l'immagine) allora puoi esrpimere in matrice l'applicazione lineare!
Saluti
P.S.=Cmq mi accorgo solo ora che \( F \) dovrebbe essere da \( \Bbb{R}^3 \) in \( \Bbb{R}^3 \) stando agli elementi che hai per ipotesi..
"Mandiatutti":
@garnak.olegovitc
Grazie di rispondere a tutte le mie domande!
se i tre vettori per ipotesi sono base allora la prima colonna della matrice sono le coordinate dell'immagine del primo vettore \( (0,1,1) \), la seconda sono le coordinate dell'immagine del secondo vettore \( (2,0,0) \), la terza sono le coordinate dell'immagine del terzo vettore \( (1,1,0) \), ovviamente queste coordinate sono sempre rispetto alla base \( (0,1,1),(2,0,0),(1,1,0) \) (sempre se base sia
) (perdonami ma oggi non mi va di fare i calcoli.. spero che concettualmente ti arrivi il senso)... se invece \( (0,1,1),(2,0,0),(1,1,0) \) base non è allora, almeno genera \( \Bbb{R}^3 \), quindi gli elementi della base canonica di \( \Bbb{R}^3\) sono combinazione lineare di questi, poi ti calcoli le immagini della base canonica appena trovata, e sapendo che le coordinate di un vettore rispetto alla base canonica sono "uguali al vettore" (in questo caso il vettore è l'immagine) allora puoi esrpimere in matrice l'applicazione lineare!Saluti
P.S.=Cmq mi accorgo solo ora che \( F \) dovrebbe essere da \( \Bbb{R}^3 \) in \( \Bbb{R}^3 \) stando agli elementi che hai per ipotesi..
vediamo se ho capito bene... devo risolvere i seguenti sistemi:
(0,1,1)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1);
(2,0,0)=d(1,0,0)+e(0,1,0)+f(0,0,1);
(1,1,0)=g(1,0,0)+h(0,1,0)+i(0,0,1);
e così trovo le coordinate dei vettori secondo la base canonica di R^3.
Ma io qua non devo trovare quei vettori sotto la base canonica... Io non riesco proprio a capire il senso della scrittura: F:R4→R4
F(0,1,1)=(5,2,3)
F(2,0,0)=(2,2,0)
F(1,1,0)=(2,1,1)
Oramai non mi frega più di capirla, mi basterebbe sapere come calcolare la matrice rappresentativa, che è quello che mi importa... A furia di teoria su teoria mi sto perdendo sempre più... Sorry
(0,1,1)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1);
(2,0,0)=d(1,0,0)+e(0,1,0)+f(0,0,1);
(1,1,0)=g(1,0,0)+h(0,1,0)+i(0,0,1);
e così trovo le coordinate dei vettori secondo la base canonica di R^3.
Ma io qua non devo trovare quei vettori sotto la base canonica... Io non riesco proprio a capire il senso della scrittura: F:R4→R4
F(0,1,1)=(5,2,3)
F(2,0,0)=(2,2,0)
F(1,1,0)=(2,1,1)
Oramai non mi frega più di capirla, mi basterebbe sapere come calcolare la matrice rappresentativa, che è quello che mi importa... A furia di teoria su teoria mi sto perdendo sempre più... Sorry
Vedi se ti piace questo.
Hai:
\(\displaystyle \begin{cases}e_2+e_3=^t(0,1,1)\\2e_1=^t(2,0,0)\\e_1+e_2=^t(1,1,0)\end{cases} \)
Passando alle immagini risulta:
\(\displaystyle \begin{cases}f(e_2)+f(e_3)=^t(5,2,3)\\2f(e_1)=^t(2,2,0)\\f(e_1)+f(e_2)=^t(2,1,1)\end{cases} \)
Da cui ne viene che:
\(\displaystyle \begin{cases}f(e_1)=^t(1,1,0)\\f(e_2)=^t(1,0,1)\\f(e_3)=^t(4,2,2)\end{cases} \)
[quell'elevato a "t" significa che si tratta di vettori colonna]
Disponendo ora i vettori colonna cosi trovati in una matrice A si ha quanto richiesta :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&4\\1&0&2\\0&1&2\end {pmatrix} \)
Quanto all'immagine, si può osservare facilmente che $rank(A)=2$ e quindi l'immagine è rappresentata da due colonne indipendenti di A. Per esempio dalle prime due.
P.S. La scrittura $f: mathbb{R^4}->mathbb{R^4}$ mi sembra errata. Dovrebbe esssere: $f: mathbb{R^3}->mathbb{R^3}$
Hai:
\(\displaystyle \begin{cases}e_2+e_3=^t(0,1,1)\\2e_1=^t(2,0,0)\\e_1+e_2=^t(1,1,0)\end{cases} \)
Passando alle immagini risulta:
\(\displaystyle \begin{cases}f(e_2)+f(e_3)=^t(5,2,3)\\2f(e_1)=^t(2,2,0)\\f(e_1)+f(e_2)=^t(2,1,1)\end{cases} \)
Da cui ne viene che:
\(\displaystyle \begin{cases}f(e_1)=^t(1,1,0)\\f(e_2)=^t(1,0,1)\\f(e_3)=^t(4,2,2)\end{cases} \)
[quell'elevato a "t" significa che si tratta di vettori colonna]
Disponendo ora i vettori colonna cosi trovati in una matrice A si ha quanto richiesta :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&4\\1&0&2\\0&1&2\end {pmatrix} \)
Quanto all'immagine, si può osservare facilmente che $rank(A)=2$ e quindi l'immagine è rappresentata da due colonne indipendenti di A. Per esempio dalle prime due.
P.S. La scrittura $f: mathbb{R^4}->mathbb{R^4}$ mi sembra errata. Dovrebbe esssere: $f: mathbb{R^3}->mathbb{R^3}$
@ciromario,
thanks per aver fatto quei conti che non avevo tanto voglia di scriverli in latex..
"ciromario":
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Hai:
\(\displaystyle \begin{cases}e_2+e_3=^t(0,1,1)\\2e_1=^t(2,0,0)\\e_1+e_2=^t(1,1,0)\end{cases} \)
Passando alle immagini risulta:
\(\displaystyle \begin{cases}f(e_2)+f(e_3)=^t(5,2,3)\\2f(e_1)=^t(2,2,0)\\f(e_1)+f(e_2)=^t(2,1,1)\end{cases} \)
Da cui ne viene che:
\(\displaystyle \begin{cases}f(e_1)=^t(1,1,0)\\f(e_2)=^t(1,0,1)\\f(e_3)=^t(4,2,2)\end{cases} \)
[quell'elevato a "t" significa che si tratta di vettori colonna]
Disponendo ora i vettori colonna cosi trovati in una matrice A si ha quanto richiesta :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&4\\1&0&2\\0&1&2\end {pmatrix} \)
Quanto all'immagine, si può osservare facilmente che $rank(A)=2$ e quindi l'immagine è rappresentata da due colonne indipendenti di A. Per esempio dalle prime due.
thanks per aver fatto quei conti che non avevo tanto voglia di scriverli in latex..
Non è solo questione di farti i calcoli... Se si deve rappresentare un vettore dato (a,b,c) nella base canonica allora basta scrivere semplicemente così { senza introdurre un sistema di incognite!]:
$(a,b,c)=ae_1+be_2+ce_3$
$(a,b,c)=ae_1+be_2+ce_3$
@ciromario Grazie! ora ho capito come ottenere la matrice rappresentativa!
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