Come derivare quest'espressione del polinomio caratteristico?

[giuscri]

Ci sto pensando da un po', ma non mi viene in mente nulla di leggero.
Leggo

Sia \(A \in \mathfrak{M}_{n \times n}(\mathbb{K})\). Allora il suo polinomio caratteristico e'
\[P_A(x) = \det{(A - x\,I_n)} \equiv (-1)^n x^n + (-1)^{n-1} \sum_{i=1}^n a_{ii} \cdot x^{n-1} + \ldots{} + \det{A}\]

Mi aspetto che quella baracca possa essere derivata dalla linearita' per colonne del \(\det\). Ma come?
Personalmente andrei avanti cosi:
\[\begin{split} P_A(x) & = \det{(A - x\,I_n)} = \det{(A^1 - x\,e_1, A^2 - x\,e_2, \ldots{}, A^n - x\,e_n)} = \\
& = \det{(A^1, A^2 - x\,e_2, \ldots{}, A^n - x\,e_n)} - x \det{(e_1, \ldots{}, A^n - x\,e_n)} = \\
& = \det{(A^1, A^2, \ldots{}, A^n - x\,e_n)} - x \det{(A^1, e_2, \ldots{}, A^n - x\,e_n)} + \ldots{} \end{split}\]
da cui e' probabile io riesca tirare fuori quella formula nel [quote], ma ...sicuramente non e' la strada piu' veloce (oltre al fatto che dopo pochi passaggi perdo la bussola.

Sempre che non ci sia qualche particolarita' che non conosco sui determinanti delle matrici che hanno per colonna uno dei vettori canonici di \(\mathbb{K}^m\).

[killing_buddha]

Tutto cio' segue dalle formule di Viete che esprimono i coefficienti di un polinomio in termini delle sue radici.

[Stickelberger]

Sia $A$ una matrice $n\times n$ e sia $P(X)=det(A-X* id)$ il suo polinomio caratteristico.
Allora $P(x)$ ha grado $n$. Sostituendo $X=0$ si vede subito che $P(0)=det(A)$.
Questa osservazione determina il termine noto di $P(X)$.

Supponiamo che $n\ge 2$. Per dire qualcosa sugli altri coefficienti, e' utile
considerare il polinomio $Q(X)=det(X *A -id)$.
Poiche' $Q(X) = X^nP(1$/$X)$, si tratta del polinomio reciproco di $P(X)$.

Scrivendo $S_n$ per il gruppo simmetrico di ordine $n!$, si ha per una
matrice $n\times n$ della forma $B=(b_{ij})$ che

$det(B) =\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{sign(\sigma)}\prod_{i=1}^n b_{i\sigma(i)}$.

Applicando questo alla matrice $B=X * A -id$ troviamo che

$Q(X) =det(X *A -id)\equiv \prod_{i=1}^n (Xa_{ii}-1)$ modulo $X^2$

(per $\sigma!=id$ i prodotti sono divisibili per $X^2$!!) e quindi

$Q(X) \equiv (-1)^n + (-1)^{n-1}\sum_{i=1}^n a_{ii}X$ modulo $X^2$.

E questo implica che il polinomio reciproco $P(X)$ di $Q(X)$ soddisfa

$P(X) = (-1)^nX^n + (-1)^{n-1}Tr(A) * X^{n-1) +\ldots$

dove $Tr(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$ indica la traccia di $A$.

E ci siamo $\ldots$ Puo' andare?