Come capire se una matrice ha autovalori reali/complessi
Salve, mi sorge un dubbio, è vero che una matrice ha autovalori reali se la matrice di partenza è uguale alla sua trasposta? (ovvero se è simmetrica) Altrimenti, se non è simmetrica ha autovalori complessi? In caso non fosse così c'è un modo per capire al volo se una matrice ha autovalori reali o complessi? Grazie mille
Risposte
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"fildalex":
Salve, mi sorge un dubbio, è vero che una matrice ha autovalori reali se la matrice di partenza è uguale alla sua trasposta? (ovvero se è simmetrica)
Se una matrice è simmetrica ha autovalori reali. Il viceversa non è vero.
"fildalex":
Altrimenti, se non è simmetrica ha autovalori complessi?
Non è detto. Le matrici triangolari (superiori o inferiori) ad elementi reali non sono simmetriche, ma tutti gli autovalori sono reali e sono gli elementi sulla diagonale.
"fildalex":
n caso non fosse così c'è un modo per capire al volo se una matrice ha autovalori reali o complessi?
Non credo o almeno non mi risulta. Ci sono invece dei casi specifici in cui questo si può capire a priori, ad es. nel caso delle matrici triangolari di cui sopra.
@sellacollasella Non conoscevo le matrici compagne: grazie!
Grazie mille a tutti delle risposte! In un esercizio mi è capitato di avere una matrice (reale) ma con autovalori complessi, la matrice era la seguente
$((3,4),(-4,-3))$
Potete spiegarmi come mai? Grazie
$((3,4),(-4,-3))$
Potete spiegarmi come mai? Grazie
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"sellacollesella":
[quote="fildalex"]Potete spiegarmi come mai?
Gli \(n\) autovalori di una matrice quadrata sono legati alle \(n\) radici del polinomio caratteristico. Nello specifico \(n=2\), quindi il polinomio in questione è di secondo grado che nel caso in cui il discriminante sia negativo porta ad una coppia di radici complesse coniugate. É proprio per via di questo fatto che, in generale, non è facile stabilire a priori se capiteranno autovalori reali, complessi coniugati o un loro miscuglio.
[/quote]come faccio a calcolare il discriminante del polinomio partendo dalla matrice? Sono esercizi che sono capitati in un test di 30 minuti, quindi presupponevo si potessero calcolare velocemente!
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"sellacollesella":
[quote="fildalex"]presupponevo si potessero calcolare velocemente!
Il polinomio caratteristico di una qualsiasi matrice quadrata di ordine \(2\) lo si calcola in pochi secondi!
[/quote]facendo il polinomio caratteristico mi esce $\lambda^2 = -10 $ , è per questo che la matrice ha autovalori complessi coniugati?
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Grazie mille!! Per capire se ha autovalori reali basta che il discriminante sia positivo giusto?
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grazieeee
"sellacollesella":
[quote="fildalex"]Per capire se ha autovalori reali basta che il discriminante sia positivo giusto?
Anche nullo, in tal caso avrai due autovalori reali coincidenti.[/quote]
piccola curiosità, se volessi sapere se gli autovalori sono congiunti o disgiunti, posso applicare il teorema di Gershgorin?
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