Come calcolare la dimensione della somma di due sottospazi

[zavo91]

dati due sottospazi come faccio a trovarne la dimensione della somma?

[Sk_Anonymous]

Scrivi la matrice associata all'insieme dei generatori dei due sottospazi, la riduci a scala, trovi gli $a$, $b$, oppure gli $c$, $d$ che risolvono l'equazione $au_1+bu_2=cw_1+dw_2$, dove $u$ e $w$ sono i generatori dei due sottospazi $U$ e $W$, e poi fatta. Ci sono anche altri modi, come ad esempio quello di scrivere delle equazioni cartesiane dei due sottospazi e metterle a sistema, cioè trovare le incognite che le soddisfano entrambi (tali incognite sono le coordinate generiche dei vettori dell'intersezione), oppure puoi scrivere un'equazione cartesiana di un sottospazio e una parametrica dell'altro, e sostituire le incognite dell'equazione parametrica nell'equazione cartesiana.

P.S= mi sono accorto di averti spiegato come si calcola l'intersezione. Per quanto riguarda la somma, scrivi la matrice associata ai generatori dei due sottospazi, la riduci a scala e ne calcoli il rango, che ti dirà la dimensione dello spazio somma. Ciao.

[zavo91]

tipo io ho $V={(x,y,z,t) in R^4|x+2y-z=x+t=0}$ e $W={(x,y,z,t) in R^4| x+y-z-t=0}$ come procedo?

[Gi81]

Sai come calcolare $dim(V nn W)$?

[Sk_Anonymous]

"zavo91":tipo io ho $V={(x,y,z,t) in R^4|x+2y-z=x+t=0}$ e $W={(x,y,z,t) in R^4| x+y-z-t=0}$ come procedo?

Esplicita i due insiemi risolvendo i due sistemi lineari.

[zavo91]

"Gi8":Sai come calcolare $dim(V nn W)$?

è tutto il giorno che trovo delle interesezioni
la $dim(VnnW)$=numero dei vettori che formano la base di $VnnW$

[Gi81]

Perchè se sai come fare quello, hai quasi finito:
C'è una formula, la formula di Grassmann, che dice che
$dim(V+W)=dim(V)+dim(W)-dim(VnnW)$

[zavo91]

Oh caspita è vero me ne ero totalmente dimenticato!
comunque la $dim(VnnW)$=numero dei vettori che formano la base di $VnnW$

[zavo91]

maginifico ho messo a sistema le 3 eqauzioni dei due sottospazi avendo così il sitema $\{(x+2y-z=0),(x+t=0),(x+y-z-t=0):}$ che diventa $\{(-t+2y-z=0),(x=-t),(-2t+y-z=0):}$ e cioè $\{(z=2y-t),(x=-t),(-t-y=0):}$ pongo $t=k$ e il sistema diventa $\{(x=-k),(y=-k),(z=-3k),(t=k):}$ la base di $VnnW$ è (-k,-k,-3k,k) pongo k=-1 e diventa (1,1,3,-1) quindi $dim(VnnW)$=1
formula di Grassman che non scrivo visto che è il secondo punto di un esercizio e al primo chiedeva di trovare le dimensioni di V e di W vi dico che $dim(V+W)=4 ed è esatto anche se la soluzione usava la matrice le cui righe sono composte dai vettori che formano le basi di V e W.Calcola il rango che è la dimensione della somma.

[Gi81]

"zavo91":ed è esatto anche se la soluzione usava la matrice le cui righe sono composte dai vettori che formano le basi di V e W.Calcola il rango che è la dimensione della somma.

.. che è proprio quanto ti ha suggerito prima lisdap. Tutto torna

[zavo91]

grazie a tutti e due