Combinazioni lineari ed insiemi di generatori
Ragazzi sto studiando le combinazioni lineari e pensavo di averle capito fino a quando non ho raggiunto la parte sugli insiemi di generatori, che hanno un pò fatto crollare le mie convinzioni.
La combinazione lineare deve avvenire in uno spazio vettoriale su un campo, in quanto qui è concessa l'operazione di prodotto tra vettore e scalare.
In quanto la combinazione lineare è ogni espressione lineare del tipo $\hvec a1+ \hvec a2 + ... \hvec an$
Ora, l'insieme di generatori lavora su un insieme di vettori in uno spazio vettoriale. In quanto, per definizione, X ( insieme di vettori ) è insieme di generatori di V se ogni vettore di V è combinazione lineare dei vettori di X.
E qui non capisco: la combinazione lineare non è tra scalari e vettori ? Qui si parla di vettore e vettore.
La combinazione lineare deve avvenire in uno spazio vettoriale su un campo, in quanto qui è concessa l'operazione di prodotto tra vettore e scalare.
In quanto la combinazione lineare è ogni espressione lineare del tipo $\hvec a1+ \hvec a2 + ... \hvec an$
Ora, l'insieme di generatori lavora su un insieme di vettori in uno spazio vettoriale. In quanto, per definizione, X ( insieme di vettori ) è insieme di generatori di V se ogni vettore di V è combinazione lineare dei vettori di X.
E qui non capisco: la combinazione lineare non è tra scalari e vettori ? Qui si parla di vettore e vettore.
Risposte
La combinazione lineare che tu stesso hai scritto ( meglio scrivere nel caso più generale in cui gli scalari non sono gli stessi : $h_1 vec (a_1) +h_2 vec(a_2)+....h_n vec(a_n) $ ) è una somma di vettori ottenuti moltiplicando ciascuno dei vettori generatori per uno scalare : il prodotto di uno scalare per un vettore produce un vettore.
Ad esempio i vettori $vec(v_1) =(1,2); vec (v_2)= (2,3);vec(v_3)=( 3,5) $ sono dei generatori di $RR^2$( ma non sono una base di $RR^2$).Le loro combinazioni lineari $ h_1 vec(v_1) +h_2 vec (v_2) +h_3 vec(v_3) $ con $h_1,h_2,h_3 in RR $ rappresentano tutti i vettori di $RR^2$.
Vediamo di arrivarci per gradi. Una combinazione lineare di vettori è qualcosa di assolutamente analogo a una somma di vettori.
somma vettori: \(\displaystyle \vec{v}_1+\dotsb+\vec{v}_n \)
combinazione lineare di vettori: \(\displaystyle \eta_1\vec{v}_1+\dotsb+\eta_n\vec{v}_n \)
L'unica altra condizione è che si abbia \(\displaystyle \vec{v}_i\neq\vec{v}_j \) per ogni \(\displaystyle i\neq j \). È comunque evidente che se si ha una somma del tipo \(\displaystyle \eta_1\vec{v}_1+\dotsb+\eta_n\vec{v}_n \) in cui \(\displaystyle \vec{v}_i = \vec{v}_j \) per ogni \(\displaystyle i\neq j \) allora usando la proprietà commutativa e il fatto che \(\displaystyle \eta_i\vec{v}+\eta_j\vec{v} = (\eta_i+\eta_j)\vec{v} \) si arriva ad una combinazione lineare.
Siccome le operazioni usate in una combinazione lineare sono operazioni sullo spazio vettoriale allora una combinazione lineare ha un ‘risultato’ all'interno dello spazio. Quello che si vuole costruire con i generatori è un insieme dei vettori per cui esiste una sola combinazione lineare con quel risultato.
Una volta ordinato l'insieme di vettori, si nota che il ‘significato’ dei singoli vettori della base diventa poco più di un ‘indice’ e che ogni elemento dello spazio vettoriale è rappresentato univocamente dalla \(\displaystyle n \)-upla \(\displaystyle \bigl(\eta_1, \dotsc, \eta_n\bigr) \) e quindi da un elemento di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \). Quando lo spazio è \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) questo fatto potrebbe rendere le cose un po' confusionarie all'inizio e quindi bisognerebbe stare attenti.
Per capire quali rischi di incomprensioni ci possono essere. Se \(\displaystyle \vec{v}_1 = (1,2) \) e \(\displaystyle \vec{v}_2 = (3,1) \) allora questi due vettori formano una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \). Il vettore \(\displaystyle (2,-1) = -\vec{v}_1 + \vec{v}_2 \) può essere associato, tramite questa base, al vettore di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \), \(\displaystyle (-1, 1) \). Il vettore, seppur associato tramite alla base \(\displaystyle \lbrace \vec{v}_1, \vec{v}_2\rbrace \) a \(\displaystyle (-1, 1) \), continua ad essere \(\displaystyle (2, -1) \).
somma vettori: \(\displaystyle \vec{v}_1+\dotsb+\vec{v}_n \)
combinazione lineare di vettori: \(\displaystyle \eta_1\vec{v}_1+\dotsb+\eta_n\vec{v}_n \)
L'unica altra condizione è che si abbia \(\displaystyle \vec{v}_i\neq\vec{v}_j \) per ogni \(\displaystyle i\neq j \). È comunque evidente che se si ha una somma del tipo \(\displaystyle \eta_1\vec{v}_1+\dotsb+\eta_n\vec{v}_n \) in cui \(\displaystyle \vec{v}_i = \vec{v}_j \) per ogni \(\displaystyle i\neq j \) allora usando la proprietà commutativa e il fatto che \(\displaystyle \eta_i\vec{v}+\eta_j\vec{v} = (\eta_i+\eta_j)\vec{v} \) si arriva ad una combinazione lineare.
Siccome le operazioni usate in una combinazione lineare sono operazioni sullo spazio vettoriale allora una combinazione lineare ha un ‘risultato’ all'interno dello spazio. Quello che si vuole costruire con i generatori è un insieme dei vettori per cui esiste una sola combinazione lineare con quel risultato.
Una volta ordinato l'insieme di vettori, si nota che il ‘significato’ dei singoli vettori della base diventa poco più di un ‘indice’ e che ogni elemento dello spazio vettoriale è rappresentato univocamente dalla \(\displaystyle n \)-upla \(\displaystyle \bigl(\eta_1, \dotsc, \eta_n\bigr) \) e quindi da un elemento di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \). Quando lo spazio è \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) questo fatto potrebbe rendere le cose un po' confusionarie all'inizio e quindi bisognerebbe stare attenti.
Per capire quali rischi di incomprensioni ci possono essere. Se \(\displaystyle \vec{v}_1 = (1,2) \) e \(\displaystyle \vec{v}_2 = (3,1) \) allora questi due vettori formano una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \). Il vettore \(\displaystyle (2,-1) = -\vec{v}_1 + \vec{v}_2 \) può essere associato, tramite questa base, al vettore di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \), \(\displaystyle (-1, 1) \). Il vettore, seppur associato tramite alla base \(\displaystyle \lbrace \vec{v}_1, \vec{v}_2\rbrace \) a \(\displaystyle (-1, 1) \), continua ad essere \(\displaystyle (2, -1) \).
Grazie mille per le risposte.
@ vict85: quindi come faccio a non confondermi se la somma di due vettori può darmi coppie diverse ?
@ vict85: quindi come faccio a non confondermi se la somma di due vettori può darmi coppie diverse ?
"Mr.Mazzarr":
Grazie mille per le risposte.
@ vict85: quindi come faccio a non confondermi se la somma di due vettori può darmi coppie diverse ?
La somma dà solo un risultato ma per ogni base il vettore ha una rappresentazione diversa.
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