Combinazione lineare e autovalori (notazione)
Salve a tutti!
Sto facendo fatica a capire la seguente notazione:
$ 1/(min_(||alpha||=1)||A_k\alpha||)=1/(sqrt(\lambda_(k,min))) $
dove:
$ A_k $ e' una matrice formata da k vettori (colonne)
$ \lambda_(k,min) $ e' il piu' piccolo autovalore di $ A_k^T*A_k $
inoltre:
$ A_k\alpha=A_1\alpha_1+A_2\alpha_2+...+A_k\alpha_k $
In modo particolare, non ho chiaro il significato della seguente notazione:
$ 1/(min_(||alpha||=1)||A_k\alpha||) $
e non ho chiaro neppure l'uguaglianza.
Grazie mille in anticipo!
Sto facendo fatica a capire la seguente notazione:
$ 1/(min_(||alpha||=1)||A_k\alpha||)=1/(sqrt(\lambda_(k,min))) $
dove:
$ A_k $ e' una matrice formata da k vettori (colonne)
$ \lambda_(k,min) $ e' il piu' piccolo autovalore di $ A_k^T*A_k $
inoltre:
$ A_k\alpha=A_1\alpha_1+A_2\alpha_2+...+A_k\alpha_k $
In modo particolare, non ho chiaro il significato della seguente notazione:
$ 1/(min_(||alpha||=1)||A_k\alpha||) $
e non ho chiaro neppure l'uguaglianza.
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Ciao GG1
Si tratta di un'identità facilmente ricavabile.
Innanzitutto enunciamo l'ipotesi che sicuramente avrai trovato nel testo: ovvero che colonne di $A_k$ sono linearmente indipendenti. Affinchè questa ipotesi sia applicabile, le colonne devono avere m elementi con $m>=k$.
In genere questo tipo di analisi si fa per m mooooooooooooooooooooolto più grande di k.
Dall'ipotesi si deduce (per il teorema spettrale e per le proprietà che certo conoscerai) che $A_k^TA_k$ è una matrice di dimensioni kxk non singolare, simmetrica e definita positiva: pertanto i suoi autovalori sono reali e positivi (e nella pratica sono anche tutti distinti) ed esiste una matrice di cambio di base ortonormale.
Dalla decomposizione spettrale abbiamo quindi che $A_k^TA_k=QLambdaQ^T rArr (A_kQ)^T(A_kQ)=Lambda$
$Lambda$ è la matrice diagonale contenente gli autovalori in ordine decrescente, pertanto l'ultima colonna di Q è l'autovettore associato a $lambda_k$ (il più piccolo), Questo autovettore è $Q_k$ un versore ed è quello che nel libro chiamano $alpha$
Notiamo che $(A_kQ_i)^T(A_kQ_i)= ||A_kQ_i||^2=lambda_i$ con i=1,..,k quindi abbiamo un'uguaglianza fra due matrici diagonali: per esempio, se poniamo k=3 abbiamo:
$ ( (||A_kQ_1||^2 , 0 , 0 ),( 0 , ||A_kQ_2||^2 , 0 ),( 0, 0 , ||A_kQ_3||^2 ) ) =(( lambda_1 , 0 , 0 ),( 0 , lambda_2 , 0 ),( 0, 0 , lambda_3 ) ) $
Se al posto di $Q_k$ mettiamo $alpha$ abbiamo che $||A_kalpha||^2=lambda_k rArr ||A_kalpha||=sqrt(lambda_k)=sigma_k$
Ed è ovviamente un minimo per costruzione.
Si tratta di un'identità facilmente ricavabile.
Innanzitutto enunciamo l'ipotesi che sicuramente avrai trovato nel testo: ovvero che colonne di $A_k$ sono linearmente indipendenti. Affinchè questa ipotesi sia applicabile, le colonne devono avere m elementi con $m>=k$.
In genere questo tipo di analisi si fa per m mooooooooooooooooooooolto più grande di k.
Dall'ipotesi si deduce (per il teorema spettrale e per le proprietà che certo conoscerai) che $A_k^TA_k$ è una matrice di dimensioni kxk non singolare, simmetrica e definita positiva: pertanto i suoi autovalori sono reali e positivi (e nella pratica sono anche tutti distinti) ed esiste una matrice di cambio di base ortonormale.
Dalla decomposizione spettrale abbiamo quindi che $A_k^TA_k=QLambdaQ^T rArr (A_kQ)^T(A_kQ)=Lambda$
$Lambda$ è la matrice diagonale contenente gli autovalori in ordine decrescente, pertanto l'ultima colonna di Q è l'autovettore associato a $lambda_k$ (il più piccolo), Questo autovettore è $Q_k$ un versore ed è quello che nel libro chiamano $alpha$
Notiamo che $(A_kQ_i)^T(A_kQ_i)= ||A_kQ_i||^2=lambda_i$ con i=1,..,k quindi abbiamo un'uguaglianza fra due matrici diagonali: per esempio, se poniamo k=3 abbiamo:
$ ( (||A_kQ_1||^2 , 0 , 0 ),( 0 , ||A_kQ_2||^2 , 0 ),( 0, 0 , ||A_kQ_3||^2 ) ) =(( lambda_1 , 0 , 0 ),( 0 , lambda_2 , 0 ),( 0, 0 , lambda_3 ) ) $
Se al posto di $Q_k$ mettiamo $alpha$ abbiamo che $||A_kalpha||^2=lambda_k rArr ||A_kalpha||=sqrt(lambda_k)=sigma_k$
Ed è ovviamente un minimo per costruzione.
Wow, grazie mille per la tua chiarissima risposta!
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