Combinatoria & Topologia

[pat871]

Sia $n in NN$, $n ge 2$ e $X = {1,2,...,n}$.
Dimostrare che esistono come minimo $2^n$ e al massimo $2^(n^2)$ diverse topologie su $X$.
Inoltre dimostrare che per $n=7$ le topologie sono $9535241$.

Non so nemmeno da dove iniziare...qualche dritta?

[Chevtchenko]

"pat87":Sia $n in NN$, $n ge 2$ e $X = {1,2,...,n}$.
Dimostrare che esistono come minimo $2^n$ e al massimo $2^(n^2)$ diverse topologie su $X$.
Inoltre dimostrare che per $n=7$ le topologie sono $9535241$.

Non so nemmeno da dove iniziare...qualche dritta?

Un piccolo hint: dato un insieme $X$, l'insieme ${\emptyset, A, X}$, dove $A \subseteq X$, è una topologia su $X$ (la topologia con tre aperti). Dato poi che $A$ può essere scelto in $2^\kappa$ modi diversi, con $\kappa$ la cardinalità di $X$, abbiamo risposto al primo punto (quello riguardante il minimo numero di topologie).

[pat871]

Ok adesso ci provo a farlo. Grazie!
Posso inoltre chiederti un'altra cosa?
Se $X=RR$,e $T_1 = { \emptyset, {1}, RR}$, $T_2= {\emptyset, {0}, RR}$, allora $T_1$ e $T_2$ sono due topologie su $RR$, ma che non sono confrontabili?

[Chevtchenko]

"pat87":Ok adesso ci provo a farlo. Grazie!
Posso inoltre chiederti un'altra cosa?
Se $X=RR$,e $T_1 = { \emptyset, {1}, RR}$, $T_2= {\emptyset, {0}, RR}$, allora $T_1$ e $T_2$ sono due topologie su $RR$, ma che non sono confrontabili?

Certo!

[pat871]

Ok più o meno ho capito la prima parte...
ma come faccio a dimostrare che il numero di topologie per n=7 è ESATTAMENTE uguale a 9535241?