Coefficiente angolare di due rette perpendicolari nel piano

[michele123451]

Salve a tutti.
Sono curioso di capire una cosa.
Due rette nel piano, sono fra loro perpendicolari,
se:
m(pedice 1) * m(pedice 2) = -1
da cui:
m(pedice 2) = -1 / m(pedice 1)

come si arriva a scrivere questo ?
Ho trovato una spiegazione a ciò, su di un libro... ma... per la verità, non sono riuscito a comprendere.
potreste darmi una mano ?

[Summerwind78]

Ciao

per prima cosa prendi due rette qualsiasi viste nella forma

$r: a_1 x+b_1 y+c_1=0$
$s: a_2 x+b_2 y+c_2=0$

e ricordiamo che le possiamo scrivere in forma canonica con i seguenti passaggi

(scrivo i passaggi solo per a prima, per la seconda ovviamente sono identici)

$a_1 x+b_1 y+c_1=0 -> b_1 y = -a_1 x - c_1 -> y = -(a_1)/(b_1) x - (c_1)/(b_1) -> y = m_1 x+q_1$

con $m_1 =-(a_1)/(b_1)$ e $q_1 = - (c_1)/(b_1)$

per la seconda avremo

$m_2 =-(a_2)/(b_2)$ e $q_2 = - (c_2)/(b_2)$

su ognuna di queste prendi un vettore che appartenga ad esse ovvero

$r -> vec(V_1) = (a_1, b_1)$
$s -> vec(V_2) = (a_2, b_2)$


le due rette saranno tra di loro perpendicolari se lo sono anche i vettori $ vec(V_1) $ e $ vec(V_2) $

Per poter dire che due vettori sono perpendicolari tra di loro, dobbiamo imporre che il loro prodotto scalare sia pari a zero perchè:

il prodotto scalare $vec(V_1) \times vec(V_2) = |V_1| \cdot |V_2| \cdot cos(alpha)$

dove $alpha$ è l'angolo formato tra i due vettori.

Se essi sono perpendicolari, significa che $alpha = pi/2$ pertanto

$vec(V_1) \times vec(V_2) = |V_1| \cdot |V_2| \cdot cos(alpha) = |V_1| \cdot |V_2| \cdot cos(pi/2) = |V_1| \cdot |V_2| \cdot 0 = 0$

tornando adesso alle nostre rette con i vettori appartenenti ad esse dobbiamo ricordare anche che il prodotto scalare, utilizzando le coordinate dei vettori e non i moduli e l'angolo tra di essi, si calcola

$vec(V_1) \times vec(V_2) = a_1 a_2 + b_1 b_2$

che nel nostro caso deve dare zero come risultato quindi
$a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0 -> a_1 a_2 = - b_1 b_2 ->a_1/ b_1 a_2 = - b_2 -> a_1/ b_1 = - b_2/a_2 -> a_1/ b_1 = 1/(-a_2/b_2) -> -m_1 = 1/m_2 $

dove, moltiplicando da entrambe le parti per $-1$ e poi per $m_2$, otteniamo finalmente la tanto sospirata relazione:

$m_1 m_2 = -1$