Classificazione e Applicazione di Trasformazioni lineari.
Dunque, ho letto il regolamento del forum e non so se la mia richiesta sia completamente corretta, ma essendo alla frutta invoco clemenza in caso abbia fatto qualcosa di scorretto ^^'
Dunque in sede di esame mi sono ritrovato con questa tipologia di esercizi:
Il problema è che non ho la più pallida idea di come risolverli, ho cercato un po da per tutto problemi sulle trasformazioni lineari e sulla loro applicazione, ma non sono riuscito a trovare nulla di definitivo, molte dispense matematiche che prutroppo non riesco assolutamente a decifrare e ci sto perdendo abbastanza la testa. Se non fosse possibile indicarmi un metodo risolutivo immediato, vorrei sapere se ci sono alcuni testi online consultabili che mi diano la certezza di sapere che sono nella direzione corretta :look:
Grazie per l'attenzione. ^^
Dunque in sede di esame mi sono ritrovato con questa tipologia di esercizi:
Il problema è che non ho la più pallida idea di come risolverli, ho cercato un po da per tutto problemi sulle trasformazioni lineari e sulla loro applicazione, ma non sono riuscito a trovare nulla di definitivo, molte dispense matematiche che prutroppo non riesco assolutamente a decifrare e ci sto perdendo abbastanza la testa. Se non fosse possibile indicarmi un metodo risolutivo immediato, vorrei sapere se ci sono alcuni testi online consultabili che mi diano la certezza di sapere che sono nella direzione corretta :look:
Grazie per l'attenzione. ^^
Risposte
È una rototraslazione... La matrice quadrata è una matrice di rotazione definita come:
$((cos(\theta), -sin(\theta)),(sin(\theta),cos(\theta)))$ quindi $\theta$ è uguale a $2/3pi$ cioé $120°$.
Si noti che $det A$ dove $A$ è di rotazione è $cos^2(\theta) + sin^2(\theta) = 1$.
In ogni caso questo caso era facilmente determinabile...
La matrice colonna $((-2),(1))$ è sempre una traslazione...
Per ulteriori info dai un occhiati qui...
http://cidoc.iuav.it/~gueweb/materiali_comuni/Topografia/Trasformazioni.pdf
$((cos(\theta), -sin(\theta)),(sin(\theta),cos(\theta)))$ quindi $\theta$ è uguale a $2/3pi$ cioé $120°$.
Si noti che $det A$ dove $A$ è di rotazione è $cos^2(\theta) + sin^2(\theta) = 1$.
In ogni caso questo caso era facilmente determinabile...
La matrice colonna $((-2),(1))$ è sempre una traslazione...
Per ulteriori info dai un occhiati qui...
http://cidoc.iuav.it/~gueweb/materiali_comuni/Topografia/Trasformazioni.pdf
Nel primo esercizio un generico vettore di coordinate (v1,v2) viene ruotato di un angolo pari a 60° in senso orario rispetto all'origine e traslato di un vettore (-2,1). Non è difficile vederlo: la prima matrice, per il teorema di struttura degli operatori isometrici, corrisponde proprio ad una rotazione pura, in quanto è del tipo:
cos(a) -sin(a)
sin(a) cos(a) con a, in questo caso, pari a -60°.
Il vettore, una volta ruotato, viene traslato. A questo punto basta sostituire al posto di v1 e v2, a turno, le coordinate dei vertici del quadrato.
Per il secondo di dò qualche dritta: la composizione di più trasformazioni è uguale, in forma matriciale, al prodotto delle matrici relative alla singola trasformazione dall'ultima alla prima (l'ordine è importante!); solo per le traslazioni bisogna "sommare" il vettore corrispondente.
Una riflessione è una trasformazione isometrica, mentre una omotetia è una trasformazione simmetrica. Cerca di trovare la trasformazione finale tenendo a mente i teoremi di struttura degli operatori simmetrici e isometrici.
Consiglio: cerca un buon testo di Geometria e Algebra Lineare con teoria ed esercizi "cartaceo".
cos(a) -sin(a)
sin(a) cos(a) con a, in questo caso, pari a -60°.
Il vettore, una volta ruotato, viene traslato. A questo punto basta sostituire al posto di v1 e v2, a turno, le coordinate dei vertici del quadrato.
Per il secondo di dò qualche dritta: la composizione di più trasformazioni è uguale, in forma matriciale, al prodotto delle matrici relative alla singola trasformazione dall'ultima alla prima (l'ordine è importante!); solo per le traslazioni bisogna "sommare" il vettore corrispondente.
Una riflessione è una trasformazione isometrica, mentre una omotetia è una trasformazione simmetrica. Cerca di trovare la trasformazione finale tenendo a mente i teoremi di struttura degli operatori simmetrici e isometrici.
Consiglio: cerca un buon testo di Geometria e Algebra Lineare con teoria ed esercizi "cartaceo".
"vict85":
È una rototraslazione... La matrice quadrata è una matrice di rotazione definita come:
$((cos(\theta), -sin(\theta)),(sin(\theta),cos(\theta)))$ quindi $\theta$ è uguale a $2/3pi$ cioé $120°$.
Si noti che $det A$ dove $A$ è di rotazione è $cos^2(\theta) + sin^2(\theta) = 1$.
In ogni caso questo caso era facilmente determinabile...
La matrice colonna $((-2),(1))$ è sempre una traslazione...
Per ulteriori info dai un occhiati qui...
http://cidoc.iuav.it/~gueweb/materiali_comuni/Topografia/Trasformazioni.pdf
Scusa, non ho visto che avevi già risposto...comunque hai ragione, l'angolo è 120° (il seno è positivo....
)
Un po' di matrici...
rotazione $((cos \theta,-sin \theta),(sin \theta,cos \theta))$
riflessione (dipende ovviamente dall'asse...) per la bisettrice II e IV quadrante corrisponde a $((0,-1),(-1,0))$, nel caso di quella del I e III è $((0,1),(1,0))$. Intuitivamente in un caso le $x$ diventano $-y$ e le $y$ $-x$ e nell'altro si scambiano le $x$ con le $y$
traslazione già discussa prima
omotetia è la matrice $((k,0),(0,k))$ per qualche $k$.
Vediamo ora il secondo esercizio:
$R$ è la riflessione $((0,-1),(-1,0))$ e anche la trasformazione associata a questa matrice
$T$ è la matrice/vettore $((4),(-2))$
$kI$ è l'omotetia (I è la matrice identica)...
$X$ è la matrice/vettore $((x),(y))$
$V$ è la matrice/vettore $((v_1),(v_2))$
Vediamo quindi di vederlo come funzione...
ora $X = kI(R(V)+T) = k(R(V)+T) = kR(V) + kT = ((0,-k),(-k,0))((v_1),(v_2)) + ((4k),(-2k)) = ((0,+3/2),(+3/2,0))((v_1),(v_2)) + ((-6),(3))$
P.S: se la traslazione avveniva prima della rotazione dovevi mettere $X = kIR(V+T)$
rotazione $((cos \theta,-sin \theta),(sin \theta,cos \theta))$
riflessione (dipende ovviamente dall'asse...) per la bisettrice II e IV quadrante corrisponde a $((0,-1),(-1,0))$, nel caso di quella del I e III è $((0,1),(1,0))$. Intuitivamente in un caso le $x$ diventano $-y$ e le $y$ $-x$ e nell'altro si scambiano le $x$ con le $y$
traslazione già discussa prima
omotetia è la matrice $((k,0),(0,k))$ per qualche $k$.
Vediamo ora il secondo esercizio:
$R$ è la riflessione $((0,-1),(-1,0))$ e anche la trasformazione associata a questa matrice
$T$ è la matrice/vettore $((4),(-2))$
$kI$ è l'omotetia (I è la matrice identica)...
$X$ è la matrice/vettore $((x),(y))$
$V$ è la matrice/vettore $((v_1),(v_2))$
Vediamo quindi di vederlo come funzione...
ora $X = kI(R(V)+T) = k(R(V)+T) = kR(V) + kT = ((0,-k),(-k,0))((v_1),(v_2)) + ((4k),(-2k)) = ((0,+3/2),(+3/2,0))((v_1),(v_2)) + ((-6),(3))$
P.S: se la traslazione avveniva prima della rotazione dovevi mettere $X = kIR(V+T)$
Domanda banale, il calcolo del determinante serve per individuare se abbiamo una rotazione è positivo se abbiamo una riflessione è negativo.
Ma se è uguale a zero?
Ma se è uguale a zero?
Allora domande di ordine generale.
Vi chiedo scusa se sembreranno domande idiote ma siate indulgenti ^^'
Esercizio classificazione:
Una volta che determino se si tratta di rotazione o riflessione (semplice o composta) col calcolo del determinate dovrei applicare il tutto ai punti dati.
Questo vuol dire che nella matrice (v1 ; v2) debbo inserire le cordinate dei punti dati e ed eseguire i banali calcoli tra matrice e colonne.
Tutto quanto detto sopra è corretto?
Nel caso lo fosse.
I termini dentro la prima matrice debbono essere modificati?
Li classifico nel caso a cui appartengono, ma poi li debbo modificare? Ho letto che "radice quadrata di tre su due" è uguale a $2/3pi$ cioé $120°$, questo vuol dire che nella matrice 2x2 debbo sostiuire i numeri in numeri goniometrici o il passaggio mi serve solo per capire di quanti gradi avviene la rotazione?
Grazie per l'attenzione
Vi chiedo scusa se sembreranno domande idiote ma siate indulgenti ^^'
Esercizio classificazione:
Una volta che determino se si tratta di rotazione o riflessione (semplice o composta) col calcolo del determinate dovrei applicare il tutto ai punti dati.
Questo vuol dire che nella matrice (v1 ; v2) debbo inserire le cordinate dei punti dati e ed eseguire i banali calcoli tra matrice e colonne.
Tutto quanto detto sopra è corretto?
Nel caso lo fosse.
I termini dentro la prima matrice debbono essere modificati?
Li classifico nel caso a cui appartengono, ma poi li debbo modificare? Ho letto che "radice quadrata di tre su due" è uguale a $2/3pi$ cioé $120°$, questo vuol dire che nella matrice 2x2 debbo sostiuire i numeri in numeri goniometrici o il passaggio mi serve solo per capire di quanti gradi avviene la rotazione?
Grazie per l'attenzione
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