Classificazione di una quadrica
Buongiorno a tutti. Ho una domanda per quanto riguarda la classificazione di quadriche. Il nostro docente ci ha fornito una tabella per classificare in modo immediato le quadriche in base a determinati requisiti:
[nota](per matrice incompleta intendo la matrice associata alla forma quadratica)[/nota]
-r (rango della matrice incompleta)
-r*(rango della matrice completa)
-segnatura della matrice incompleta
-segnatura della matrice completa
-un coefficiente p che sarebbe il minimo tra (n+ e n- cioè il min tra il numero di autovalori positivi e negativi).
A volte però, risulta molto laborioso determinare gli autovalori di una matrice ad esempio 4x4 (che si presenta con tutti coefficienti non nulli) e volevo sapere se ci fosse un modo piu immediato per farlo . Io sapevo che facendo una riduzione a scala della matrice e riconducendosi dunque ad una matrice triangolare superiore era facile determinarlo in quanto bastava fare il prodotto degli elementi sulla diagonale ma in questo caso io dovrei fare una riduzione a scala di una matrice che e ad esempio A-xI dato che devo trovare gli autovalori e non mi risulta poi cosi semplice. Avete delle alternative? Vi lascio anche l'equazione della quadrica che dovevo classificare e in cui mi sono posto tali domande: $x^2+y^2+2z^2+2xy-6x-6y-6z+11=0$
[nota](per matrice incompleta intendo la matrice associata alla forma quadratica)[/nota]
-r (rango della matrice incompleta)
-r*(rango della matrice completa)
-segnatura della matrice incompleta
-segnatura della matrice completa
-un coefficiente p che sarebbe il minimo tra (n+ e n- cioè il min tra il numero di autovalori positivi e negativi).
A volte però, risulta molto laborioso determinare gli autovalori di una matrice ad esempio 4x4 (che si presenta con tutti coefficienti non nulli) e volevo sapere se ci fosse un modo piu immediato per farlo . Io sapevo che facendo una riduzione a scala della matrice e riconducendosi dunque ad una matrice triangolare superiore era facile determinarlo in quanto bastava fare il prodotto degli elementi sulla diagonale ma in questo caso io dovrei fare una riduzione a scala di una matrice che e ad esempio A-xI dato che devo trovare gli autovalori e non mi risulta poi cosi semplice. Avete delle alternative? Vi lascio anche l'equazione della quadrica che dovevo classificare e in cui mi sono posto tali domande: $x^2+y^2+2z^2+2xy-6x-6y-6z+11=0$
Risposte
Dato che a te non interessa davvero trovare gli autovalori precisi delle matrici, ma solo la segnatura (quindi solo il segno di tali autovalori), c'è sempre il metodo dei minori: https://www.****.it/domande-a-rispos ... alori.html
in realtà però con il metodo dei minori capisco solo se è semi definita , definita positiva ecc, ma non so esattamente il numero degli autovalori che saranno positivi, negativi e nulli. A me servirebbe sapere proprio il numero esatto per classificare correttamente la quadrica perché ad esempio dovrei anche determinare quel coefficiente p che è il minimo tra n+ e n-
https://www.****.it/lezioni/algebra- ... atura.html
Prova a vedere qui, oppure a cercare esempi di applicazione del metodo dei minori
Prova a vedere qui, oppure a cercare esempi di applicazione del metodo dei minori
@nico_engineering_dd Ma provare a calcolare il polinomio caratteristico, e tentare di calcolare qualche autovalore, no?!
"j18eos":
@nico_engineering_dd Ma provare a calcolare il polinomio caratteristico, e tentare di calcolare qualche autovalore, no?!
Generalmente faccio cosi, ma in questo caso è una 4x4 con coefficienti non nulli e non è proprio una passeggiata. D'altronde se avessi voluto farlo in questo modo, non avrei aperto la discussione chiedendo se ci fossero dei metodi alternativi. Tu che dici?
Da quello che hai scritto evinco che i metodi "furbi" non funzionano, quindi ti resta il calcolo brutale del polinomio caratteristico!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo