Classificazione delle quadriche
Ciao a tutti!
Quando mi trovo davanti all'equazione di una quadrica scritto in forma non canonica mi trovo spesso in difficoltà a riconoscerla. Per cui mi spieghereste un metodo generale (mi interessa in particolare il caso tridimensionale) per trasformare l'equazione di una quadrica in forma canonica? (anche un link ben fatto mi andrebbe bene o comunque un suggerimento per uno studio che porti a una conoscenza sicura dell'argomento)
In particolare: che significato ha la parte lineare dell'equazione di una quadrica?
Esempio: $3x^2+2x-y^2>0$ oppure $y^2-3x^2>2$ in $RR^3$
Quando mi trovo davanti all'equazione di una quadrica scritto in forma non canonica mi trovo spesso in difficoltà a riconoscerla. Per cui mi spieghereste un metodo generale (mi interessa in particolare il caso tridimensionale) per trasformare l'equazione di una quadrica in forma canonica? (anche un link ben fatto mi andrebbe bene o comunque un suggerimento per uno studio che porti a una conoscenza sicura dell'argomento)
In particolare: che significato ha la parte lineare dell'equazione di una quadrica?
Esempio: $3x^2+2x-y^2>0$ oppure $y^2-3x^2>2$ in $RR^3$
Risposte
Innanzitutto le equazioni che hai scritto, con il segno di ">" sono un po' anomale, nel senso che le quadriche sono superfici le cui equazioni sono scritte col segno =. Es: $3x^2+2x-y^2=0$
Comunque, quella quadrica si vede immediatamente che è un cilindro, perchè manca di termini in z.
Quindi, la quadrica identifica una curva sul piano xy, e da sopra la curva si può "tirare su" una parete, facendola diventare un cilindro.
Poi, $3x^2+2x-y^2=0$ ha quel termine in x che può essere usato per completare il quadrato in x.
Cioè:
$3x^2+2x-y^2=0$
$3(x^2+2/3 x)-y^2=0$
$3(x^2+2/3 x+1/9)-1/3-y^2=0$
$3(x+1/3)^2-y^2-1/3=0$
Quinadi abbiamo un cilindro iperbolico di asse $(-1/3,0,z)$
Comunque, quella quadrica si vede immediatamente che è un cilindro, perchè manca di termini in z.
Quindi, la quadrica identifica una curva sul piano xy, e da sopra la curva si può "tirare su" una parete, facendola diventare un cilindro.
Poi, $3x^2+2x-y^2=0$ ha quel termine in x che può essere usato per completare il quadrato in x.
Cioè:
$3x^2+2x-y^2=0$
$3(x^2+2/3 x)-y^2=0$
$3(x^2+2/3 x+1/9)-1/3-y^2=0$
$3(x+1/3)^2-y^2-1/3=0$
Quinadi abbiamo un cilindro iperbolico di asse $(-1/3,0,z)$
Grazie per la risposta!
In realtà però vorrei arrivarci autonomamente; ero anch'io arrivato a una equazione di questo tipo; MA che cosa rappresenta il termine noto -1/3? E che ne è del 3 davanti alla parentesi, che ruolo ha? che cosa avviene se, come nel secondo esempio il coefficiente relativo a x^2 è negativo? Insomma come si deve ragionare aldilà dei calcoli per avere immediatamente una coscienza geometrica di ciò che faccio?
In realtà però vorrei arrivarci autonomamente; ero anch'io arrivato a una equazione di questo tipo; MA che cosa rappresenta il termine noto -1/3? E che ne è del 3 davanti alla parentesi, che ruolo ha? che cosa avviene se, come nel secondo esempio il coefficiente relativo a x^2 è negativo? Insomma come si deve ragionare aldilà dei calcoli per avere immediatamente una coscienza geometrica di ciò che faccio?
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