Classificare luogo geometrico [concorso docenti 2021]
Ciao a tutti, dei quesiti del concorso docenti di venerdì ce n'è uno che non so risolvere in poco tempo (tenete a mente che il tempo concesso era di due minuti a domanda).
Data la retta $r:y=x+2$ e la circonferenza $\gamma:x^2+y^2=1$ classificare il luogo geometrico dei punti equidistanti da $\gamma$ e $r$.
Si può facilmente dire che la distanza di un generico punto del piano dal centro di $\gamma$ a cui se ne sottrae il raggio di $\gamma$ è uguale alla distanza da $r$, per cui imponendone algebricamente la condizione si arriva all'equazione di una parabola con asse di simmetria non parallelo agli assi cartesiani.
Ma questo procedimento richiede ben più di due minuti, per cui c'è sicuramente un altro metodo che non riesco a vedere.
Qualcuno lo riesce a intuire?
Data la retta $r:y=x+2$ e la circonferenza $\gamma:x^2+y^2=1$ classificare il luogo geometrico dei punti equidistanti da $\gamma$ e $r$.
Si può facilmente dire che la distanza di un generico punto del piano dal centro di $\gamma$ a cui se ne sottrae il raggio di $\gamma$ è uguale alla distanza da $r$, per cui imponendone algebricamente la condizione si arriva all'equazione di una parabola con asse di simmetria non parallelo agli assi cartesiani.
Ma questo procedimento richiede ben più di due minuti, per cui c'è sicuramente un altro metodo che non riesco a vedere.
Qualcuno lo riesce a intuire?
Risposte
"giuliofis":
... (tenete a mente che il tempo concesso era di due minuti a domanda). ...
A mio parere questo è un atteggiamento sbagliato ... a fronte di quesiti "complicati" ci sono quesiti che tu stesso hai definito "banali" [determinante di una matrice di zeri] per risolvere i quali ti bastano pochi secondi quindi i due minuti per il quesito complicato diventano quattro.
E in quattro minuti si può trovare questa (io l'ho fatto e sicuramente sono meno preparato di te) $|x-y+2|/sqrt(2)-sqrt(x^2+y^2)+1=0$ (non credo che vogliano la funzione esplicita)
Ovvero fatti meno problemi e vai più tranquillo ...
Cordialmente, Alex
P.S.:
Aggiungo una cosa: io non sono capace di ruotare le funzioni perché in tal caso sarebbe più semplice (penso) trovare il luogo dei punti equidistanti dalla circonferenza e dalla retta $y=sqrt(2)$ e poi ruotare la funzione così ottenuta di $45°$ in senso antiorario.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"axpgn":
[quote="giuliofis"]... (tenete a mente che il tempo concesso era di due minuti a domanda). ...
A mio parere questo è un atteggiamento sbagliato ... a fronte di quesiti "complicati" ci sono quesiti che tu stesso hai definito "banali" [determinante di una matrice di zeri] per risolvere i quali ti bastano pochi secondi quindi i due minuti per il quesito complicato diventano quattro.
E in quattro minuti si può trovare questa (io l'ho fatto e sicuramente sono meno preparato di te) $|x-y+2|/sqrt(2)-sqrt(x^2+y^2)+1=0$ (non credo che vogliano la funzione esplicita)
Ovvero fatti meno problemi e vai più tranquillo ...
Cordialmente, Alex
P.S.:
[/quote]
Fin qua sono arrivato ma sono dovuto andare avanti con i calcoli per vedere che è una parabola...
Il punto è che vedendo gli altri quesiti credo proprio ci sia un modo per rispondere senza fare alcun calcolo, ma non lo vedo.
"axpgn":
Aggiungo una cosa: io non sono capace di ruotare le funzioni perché in tal caso sarebbe più semplice (penso) trovare il luogo dei punti equidistanti dalla circonferenza e dalla retta $y=sqrt(2)$ e poi ruotare la funzione così ottenuta di $45°$ in senso antiorario.
Cordialmente, Alex
Sicuramente, ma non mi ricordo a memoria la rotazione delle coniche, la devo ricavare, e almeno un minuto ce lo perdo, non mi pare il caso.
Credo di aver capito l'incomprensione: chiedono di classificarlo, quindi di individuare se è una retta, una parabola, un elisse o un'iperbole.
Penso che si debba ragionare in questi termini: la retta è esterna alla circonferenza (si può capire con un po' di visualizzazione geometrica). Il secondo punto, che butto un po' lì perché non saprei dimostrarlo in 2 minuti, è che i punti equidistanti tra la retta e la circonferenza, in questo caso, [strike]sono i punti equidistanti tra la retta e il centro della circonferenza[/strike]. A questo punto si usa la definizione classica di parabola.
[edit] Ovviamente ho detto una cosa falsa, tra il centro e i punti di quella parabola c'è la distanza dalla retta più il raggio della circonferenza. Quindi per far funzionare il tutto devi considerare la retta traslata verso l'altro di \(\sqrt{2}\) (insomma allontani la retta di una distanza pari a 1 dalla circonferenza).
[edit] Ovviamente ho detto una cosa falsa, tra il centro e i punti di quella parabola c'è la distanza dalla retta più il raggio della circonferenza. Quindi per far funzionare il tutto devi considerare la retta traslata verso l'altro di \(\sqrt{2}\) (insomma allontani la retta di una distanza pari a 1 dalla circonferenza).
"giuliofis":
Si può facilmente dire che la distanza di un generico punto del piano dal centro di $\gamma$ a cui se ne sottrae il raggio di $\gamma$ è uguale alla distanza da $r$, per cui imponendone algebricamente la condizione si arriva all'equazione di una parabola con asse di simmetria non parallelo agli assi cartesiani.
Ma questo procedimento richiede ben più di due minuti, per cui c'è sicuramente un altro metodo che non riesco a vedere.
Scusa ma la domanda è a scelta multipla? Come hai detto, bisogna solo classificare, cioè bisogna vedere se è una retta, una parabola etc.?
Se è così, forse basta un disegno per escludere ipotesi palesemente sbagliate, senza calcoli, vedendolo a occhio e croce graficamente (scusa il disegno raffazzonato, ma faccio a mano libera):
Era a scelta multipla sì, con quel metodo grafico avrei escluso ellisse e circonferenza. Ma scegliere tra iperbole e parabola non è banale...
Ma l'iperbole mi sembra facile da escludere perché ha due rami.
"Martino":
Ma l'iperbole mi sembra facile da escludere perché ha due rami.
Vabbè un ramo di iperbole dai... Un ramo di iperbole contro una parabola non la vedo facile.
@ giuliofis Sì, infatti speravo non ci fosse l'iperbole nelle risposte... 
Vabbe', uno si mena, 50%...
Comunque ho letto che hai passato la selezione, complimenti!
Vabbe', uno si mena, 50%...Comunque ho letto che hai passato la selezione, complimenti!
Sono d'accordo con Alex, il problema si poteva risolvere rapidamente in modo analitico.
Oppure via grafica: però il grafico corretto è questo:
Il punto A appartiene al luogo geometrico cercato, perchè è equidistante da B e C.
Ma visto che il raggio BO=1, è sufficiente traslare la retta di una unità e notare che AO=AD.
In pratica il problema diventa "cerca il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto e una retta", ovvero una parabola.
Oppure via grafica: però il grafico corretto è questo:
Il punto A appartiene al luogo geometrico cercato, perchè è equidistante da B e C.
Ma visto che il raggio BO=1, è sufficiente traslare la retta di una unità e notare che AO=AD.
In pratica il problema diventa "cerca il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto e una retta", ovvero una parabola.
"giuliofis":
[quote="Martino"]Ma l'iperbole mi sembra facile da escludere perché ha due rami.
Vabbè un ramo di iperbole dai... Un ramo di iperbole contro una parabola non la vedo facile.[/quote]
Cioè, però, ha pure ragione Martino, la risposta dice 'iperbole' (cioè l'iperbole sana sana con tutti e due i rami) se no doveva dire 'ramo di iperbole'. Eh.
Quindi secondo me basta quel disegno che ho fatto, si fa quello schizzo e via.
"gabriella127":
[quote="giuliofis"][quote="Martino"]Ma l'iperbole mi sembra facile da escludere perché ha due rami.
Vabbè un ramo di iperbole dai... Un ramo di iperbole contro una parabola non la vedo facile.[/quote]
Cioè, però, ha pure ragione Martino, la risposta dice 'iperbole' (cioè l'iperbole sana sana con tutti e due i rami) se no doveva dire 'ramo di iperbole'. Eh.
Quindi secondo me basta quel disegno che ho fatto, si fa quello schizzo e via.[/quote]
Non lo so cosa diceva di preciso il testo, io non ho fatto A26, ma dai è scontato che parlassero di ramo di iperbole, sennò diventa banale.
Il ragionamento sopraesposto però mi convince credo, sì.
"giuliofis":
Non lo so cosa diceva di preciso il testo ... ma dai è scontato che parlassero di ramo di iperbole, sennò diventa banale.
Boh? ai posteri l'ardua sentenza
"gabriella127":
[quote="giuliofis"]
Non lo so cosa diceva di preciso il testo ... ma dai è scontato che parlassero di ramo di iperbole, sennò diventa banale.
Boh? ai posteri l'ardua sentenza
[/quote]Ho chiesto: citavano esplicitamente ramo di iperbole.
L'idea di Bokonon è quella giusta: nel senso che era quella che permetteva di risolvere il quesito in breve tempo ed era concettualmente "avvicinabile" senza grossi "pensamenti".
Ovviamente col senno di poi è tutto facile ...
Cordialmente, Alex
Ovviamente col senno di poi è tutto facile ...
Cordialmente, Alex
"Bokonon":
OMa visto che il raggio BO=1, è sufficiente traslare la retta di una unità e notare che AO=AD.
In pratica il problema diventa "cerca il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto e una retta", ovvero una parabola.
Non ho capito equidistanti da quale punto, B? O il centro della circonferenza, traslando la retta.
Sì, ora ho capito, non si riferisce a B.
Sì, in effetti le distanze di un punto dalla retta vanno prese facendo la perpendicolare. Io so' andata storta nel disegno.
Comunque il quesito mi pare troppo intorcinato per due minuti, visto che stiamo a parlarne in dodici da due ore seduti comodamente davanti ai nostri computer.
Ex post, sarà pure semplice, ma a un esame sotto l'assillo dei due minuti non è che si ha la lucidità di pensare.
"gabriella127":
Ex post, sarà pure semplice, ma a un esame sotto l'assillo dei due minuti non è che si ha la lucidità di pensare.
È stato esattamente questo il problema. Anche per A27 ce n'era uno che lì per lì non sapevo fare, ci avrei dovuto pensare a mente lucida a casa (ma ancora non l'ho fatto
) per risolverlo forse in pochi secondi.
"axpgn":
Ovviamente col senno di poi è tutto facile ...
Col senno del thread! Attenzione, mi sono limitato a riassumere le idee che avevate già scritto tu e vict85 e ovviamente Giulio!
Il punto era la fattibilità del quesito in tempi brevi.
Quando ho aperto il thread, Alex aveva già fornito la soluzione analitica e pure l'idea semplificata.
Richiedeva un po' di calcoli e certo più di 2 minuti, ma Giulio poteva scrivere entrambe le soluzioni dicendo "questo è il luogo richiesto e questo è in forma canonica: da cui si evince che è una parabola".
La forma canonica era semplicemente $|sqrt(2)-y|=sqrt(x^2+y^2)-1 rArr |sqrt(2)-y|+1=sqrt(x^2+y^2)$ e poi è sufficiente elevare al quadrato. Però sottolineo questo passaggio perchè diventa evidente l'idea di vict85 e che ho esposto nel grafico. Semplicemente portando l'1 da un membro all'altro, diventa chiaro che il problema diventa la definizione di parabola. Il primo membro è la distanza da una retta e il secondo da un punto fisso.
Detto questo, poi ho letto che era un quesito a risposta multipla in cui si chiedeva solo di classificare il luogo geometrico....e questo cambia tutto. I calcoli non sono necessari, è sufficiente impostare il problema per capire immediatamente che è una parabola.
Comunque sia, immagino che si siano ispirati al SAT americano: questo significa che si attendono che i candidati abbiano già svolto una marea di esercizi "tipo" che entreranno nel test e che la maggior parte di essi verrà risolta in meno di 2 minuti lasciando tempo per eventuali momenti di riflessione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo