Classificare la forma quadratica associata $Phi$
Mi si chiede di classificare la forma quadratica associata $Phi$ determinandone una forma canonica.
L'esercizio viene svolto usando il metodo degli autovalori.
Dunque procedo a determinare gli autovalori della matrice associata A mediante l'equazione caratteristica, fin qui tutto bene.
Una volta determinati tali autovalori il testo non e' pero chiaro sul come si prosegua perche' cripticamente dice "dal segno degli autovalori segue che $Phi$ non e' degenere e non definifita e la sua segnatura e' bla bla".
Qual'e' la regola generale che si segue una volta determinati gli autovalori in modo da poter dire se $Phi$ e' degenere/non degenere/definita/non definita e come si determina tale "segnatura"?
Grazie e ciao!
L'esercizio viene svolto usando il metodo degli autovalori.
Dunque procedo a determinare gli autovalori della matrice associata A mediante l'equazione caratteristica, fin qui tutto bene.
Una volta determinati tali autovalori il testo non e' pero chiaro sul come si prosegua perche' cripticamente dice "dal segno degli autovalori segue che $Phi$ non e' degenere e non definifita e la sua segnatura e' bla bla".
Qual'e' la regola generale che si segue una volta determinati gli autovalori in modo da poter dire se $Phi$ e' degenere/non degenere/definita/non definita e come si determina tale "segnatura"?
Grazie e ciao!
Risposte
Le regole sono queste:
1)Una forma e' non degenere se tutti gli autovalori sono diversi da 0
2)Una forma e' degenere se almeno un autovalore e' nullo.
3) La segnatura di una forma e' la coppia di numeri (p,n) dove
p e' il numero degli autovalori positivi
n e' il numero degli autovalori negativi
4)una forma e' definita positiva se tutti gli autovalori sono positivi
5)una forma e' definita negativa se tutti gli autovalori sono negativi
6)una forma e' semidefinita positiva se gli autovalori sono non negativi
ed almeno uno e' nullo
7)una forma e' semidefinita negativa se gli autovalori sono non positivi
ed almeno uno e' nullo.
8) una forma e' non definita se gli autovalori non sono tutti dello stesso segno.
Puo' sembrare che quanto precede richieda la conoscenza degli autovalori
(ovvero la risoluzione dell'equazione caratteristica).In realta questo non e'
strettamente necessario in quanto ,essendo gli autovalori di una matrice simmetrica
(qual e' quella di una forma quadratica) tutti reali,si puo' applicare la regola di Cartesio
che afferma che le radici positive di un'equazione (le cui radici siano tutte reali) sono tante quante le variazioni che compaiono in essa.
Per esempio se l'equazione caratteristica e'
$lambda^3-3lambda^2-6lambda+8=0$
poiche' le variazioni sono 2 avremo due autovalori positivi ed uno negativo e
quindi,per le precedenti regole,si puo' dire che la forma ( le forme) che da'
(che danno) luogo a tale equazione e' (sono):
non degenere/i
ha (hanno) segnatura (2,1)
non definita/e.
karl
1)Una forma e' non degenere se tutti gli autovalori sono diversi da 0
2)Una forma e' degenere se almeno un autovalore e' nullo.
3) La segnatura di una forma e' la coppia di numeri (p,n) dove
p e' il numero degli autovalori positivi
n e' il numero degli autovalori negativi
4)una forma e' definita positiva se tutti gli autovalori sono positivi
5)una forma e' definita negativa se tutti gli autovalori sono negativi
6)una forma e' semidefinita positiva se gli autovalori sono non negativi
ed almeno uno e' nullo
7)una forma e' semidefinita negativa se gli autovalori sono non positivi
ed almeno uno e' nullo.
8) una forma e' non definita se gli autovalori non sono tutti dello stesso segno.
Puo' sembrare che quanto precede richieda la conoscenza degli autovalori
(ovvero la risoluzione dell'equazione caratteristica).In realta questo non e'
strettamente necessario in quanto ,essendo gli autovalori di una matrice simmetrica
(qual e' quella di una forma quadratica) tutti reali,si puo' applicare la regola di Cartesio
che afferma che le radici positive di un'equazione (le cui radici siano tutte reali) sono tante quante le variazioni che compaiono in essa.
Per esempio se l'equazione caratteristica e'
$lambda^3-3lambda^2-6lambda+8=0$
poiche' le variazioni sono 2 avremo due autovalori positivi ed uno negativo e
quindi,per le precedenti regole,si puo' dire che la forma ( le forme) che da'
(che danno) luogo a tale equazione e' (sono):
non degenere/i
ha (hanno) segnatura (2,1)
non definita/e.
karl
Grazie mille per la risposta karl, tutto chiaro.
Una domanda sulla segnatura. Tu la definisci come una coppia di numeri (p, q), la risoluzione dell'esercizio in questione la calcola invece come la differenza p - q. Sono accettabili entrambi i modi?
Inoltre (se definiamo la segnatura come p-q), puo' essere tale numero negativo?
Perche' in un altro esercizio si arriva alle radici $lambda= -3$ doppia, $lambda = 6$
Data la definizione s dovrebbe essere -1, invece la soluzione data e' $s= 2-1 =1$
E' un errore?
Una domanda sulla segnatura. Tu la definisci come una coppia di numeri (p, q), la risoluzione dell'esercizio in questione la calcola invece come la differenza p - q. Sono accettabili entrambi i modi?
Inoltre (se definiamo la segnatura come p-q), puo' essere tale numero negativo?
Perche' in un altro esercizio si arriva alle radici $lambda= -3$ doppia, $lambda = 6$
Data la definizione s dovrebbe essere -1, invece la soluzione data e' $s= 2-1 =1$
E' un errore?
Non conosco questa definizione di segnatura ma se c'e'
la devi accettare e d'altra parte una definizione vale l'altra.
Quanto alla discrepanza che mi prospetti puo' essere che
sia s=p-q quando $p>=q$ ed s=q-p se $p<=q$.In altre parole
che la definizione sia |p-q| e non p-q:dovresti assicurartene.
Ciao.
karl
la devi accettare e d'altra parte una definizione vale l'altra.
Quanto alla discrepanza che mi prospetti puo' essere che
sia s=p-q quando $p>=q$ ed s=q-p se $p<=q$.In altre parole
che la definizione sia |p-q| e non p-q:dovresti assicurartene.
Ciao.
karl
Ciao karl. Relativamente alla regola di Cartesio che hai menzionato prima, questa non ha applicazione solo per equazioni di secondo grado?
Se l'equazione e' algebrica ed ha tutte le radici reali,la regola
di Cartesio vale quale che sia il grado dell'equazione.
Naturalmente vale anche per le equazioni di 2° grado purche'
il discriminante risulti non negativo.
Se le radici non sono tutte reali la regola va applicata in un
altro modo.
E' bene ricordare anche che le radici (autovalori) dell'equazione caratteristica di una
matrice (reale ) simmetrica sono necessariamente tutte reali.
karl
di Cartesio vale quale che sia il grado dell'equazione.
Naturalmente vale anche per le equazioni di 2° grado purche'
il discriminante risulti non negativo.
Se le radici non sono tutte reali la regola va applicata in un
altro modo.
E' bene ricordare anche che le radici (autovalori) dell'equazione caratteristica di una
matrice (reale ) simmetrica sono necessariamente tutte reali.
karl
Ok grazie ancora
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo