Circonferenze tangenti ad una retta
Salve a tutti ho un problema con questo tema d'esame di geometria 2 che sinceramente non so proprio dove devo iniziare!!!
r: $\{(2x - 2y + z + 1= 0),(y - z = -0):}$
a-determinare la circonferenza T tangente ad r nel suo punto R= (0,0,1) E passante per A=(-8,1,1).
Sinceramente è l'unico punto di tutto il tema d'esame che non rieso a svolgere perchè in classe non si è posta particolare attenzione alle circonferenze...Grazie mille!!!
[mod="Steven"]Ho modificato il titolo.
Si prega, in futuro, di non usare il maiscolo, per una questione di visibilità generale e ordine.
Grazie per la compresione.[/mod]
r: $\{(2x - 2y + z + 1= 0),(y - z = -0):}$
a-determinare la circonferenza T tangente ad r nel suo punto R= (0,0,1) E passante per A=(-8,1,1).
Sinceramente è l'unico punto di tutto il tema d'esame che non rieso a svolgere perchè in classe non si è posta particolare attenzione alle circonferenze...Grazie mille!!!
[mod="Steven"]Ho modificato il titolo.
Si prega, in futuro, di non usare il maiscolo, per una questione di visibilità generale e ordine.
Grazie per la compresione.[/mod]
Risposte
Comunque, non è nelle regole di questo forum chiedere la risoluzione di esercizi.....quindi ti pregherei, di cercare almeno di mostrare, tu per prima, un tentativo di risoluzione.....ciao 
"glorietta":
r: $\{(2x - 2y + z + 1= 0),(y - z = -0):}$
a-determinare la circonferenza T tangente ad r nel suo punto R= (0,0,1) E passante per A=(-8,1,1).
Tanto per iniziare ragiona su una cosa: la circonferenza è piana,
quindi il piano su cui giace è ... (continua da solo ora!)
Ciao, per prima cosa il punto $R= (0,0,1)$ non appartiene ai due piani, la cui intersezione determina la retta, quindi non può appartenere neanche alla retta...infatti se poni $y=0$ e $z=1$ la seconda equazione risulterà $-1=0$, dunque c'è qualcosa che non va.....
Io nello svolgere l'esercizio ho considerato il punto $R(0,1,1)$
Io nello svolgere l'esercizio ho considerato il punto $R(0,1,1)$
Allora,
determina il piano in cui ciace la retta $r$ e passante per i punti $R(0,1,1)$ e $A(-8,1,1)$.....una volta trovato quello sarà il piano su cui ciace anche la circonferenza $T$.
Poi scrivi l'equazione generica della sfera, fai l'intersezione con il piano trovato ed imponi che l'intersezione trovata (circonferenza) sia tangente ad $r$.
N.B: nell'intersezione tra la sfera e il piano, l'equazione che trovi sarà quella di una circonferenza, solo che la proiezione su un piano (per esempio $xy$) la "schiaccia" facendola sembrare un'elisse.
determina il piano in cui ciace la retta $r$ e passante per i punti $R(0,1,1)$ e $A(-8,1,1)$.....una volta trovato quello sarà il piano su cui ciace anche la circonferenza $T$.
Poi scrivi l'equazione generica della sfera, fai l'intersezione con il piano trovato ed imponi che l'intersezione trovata (circonferenza) sia tangente ad $r$.
N.B: nell'intersezione tra la sfera e il piano, l'equazione che trovi sarà quella di una circonferenza, solo che la proiezione su un piano (per esempio $xy$) la "schiaccia" facendola sembrare un'elisse.
Allora, procediamo passo passo.....
l'equazione della retta $r$ è:
$r:$ $\{(x=x), (y=2x+1), (z=y):}$ e il piano contenente la circonferenza a me è risultato $z=y$......
la generica equazione del piano è : $az+bx+cy+d=0$ e considerando che deve passare per $R(0,1,1)$ e $A(-8,1,1)$ ed in più deve essere parallelo alla retta $r$, si ottiene il sistema:
$\{(a+c+d=0), (a-8b+c+d=0), (2a+b+2c=0):}$
le cui soluzioni saranno $a=-c$, $b=0$ e $d=0$, ponendo $a=1$ abbiamo $c=-1$, da cui l'equazione $z=y$.
Ora devi scrivere l'equazione generica della sfera, ossia $z^2+x^2+y^2+az+bx+cy+d=0$ intersecarla col piano $z=y$ ed imporre la tangenza in $R(0,1,1)$......
l'equazione della retta $r$ è:
$r:$ $\{(x=x), (y=2x+1), (z=y):}$ e il piano contenente la circonferenza a me è risultato $z=y$......
la generica equazione del piano è : $az+bx+cy+d=0$ e considerando che deve passare per $R(0,1,1)$ e $A(-8,1,1)$ ed in più deve essere parallelo alla retta $r$, si ottiene il sistema:
$\{(a+c+d=0), (a-8b+c+d=0), (2a+b+2c=0):}$
le cui soluzioni saranno $a=-c$, $b=0$ e $d=0$, ponendo $a=1$ abbiamo $c=-1$, da cui l'equazione $z=y$.
Ora devi scrivere l'equazione generica della sfera, ossia $z^2+x^2+y^2+az+bx+cy+d=0$ intersecarla col piano $z=y$ ed imporre la tangenza in $R(0,1,1)$......
L'intersezione tra la sfera e il piano darà: $2y^2+x^2+(a+c)y+bx+d=0$, ora devi imporre la tangenza con $r$ e recuperare l'equazione.....questa ultima parte prova tu a risolverla.....
"Alexp":
Allora, procediamo passo passo.....
l'equazione della retta $r$ è:
$r:$ $\{(x=x), (y=2x+1), (z=y):}$ e il piano contenente la circonferenza a me è risultato $z=y$......
la generica equazione del piano è : $az+bx+cy+d=0$ e considerando che deve passare per $R(0,1,1)$ e $A(-8,1,1)$ ed in più deve essere parallelo alla retta $r$, si ottiene il sistema:
$\{(a+c+d=0), (a-8b+c+d=0), (2a+b+2c=0):}$
le cui soluzioni saranno $a=-c$, $b=0$ e $d=0$, ponendo $a=1$ abbiamo $c=-1$, da cui l'equazione $z=y$.
Ora devi scrivere l'equazione generica della sfera, ossia $z^2+x^2+y^2+az+bx+cy+d=0$ intersecarla col piano $z=y$ ed imporre la tangenza in $R(0,1,1)$......
Io invece seguirei questa strada:
considero il fascio di piani contenenti la retta $r$ e impongo il passaggio per $A$;
in questo piano trovo il piano $\pi$.
Poi determinerei il centro $C$ della circonferenza come intersezione di tre piani:
1) il piano $\pi$ ;
2) il piano $\alpha$ perpendicolare a $r$ e passante per il punto di tangenza $R$ ;
3) il piano $\beta$ equidistante da $A$ e $R$.
Una volta determinato il centro $C$ della circonferenza, il raggio è facile...
infatti basta determinare la lunghezza di $CA$ oppure di $CR$.
La mia soluzione è geometrica, la tua è più algebrica.
De gustibus...
"Alexp":
Allora,
determina il piano in cui ciace la retta $r$ e passante per i punti $R(0,1,1)$ e $A(-8,1,1)$.....una volta trovato quello sarà il piano su cui ciace anche la circonferenza $T$.
Poi scrivi l'equazione generica della sfera, fai l'intersezione con il piano trovato ed imponi che l'intersezione trovata (circonferenza) sia tangente ad $r$.
N.B: nell'intersezione tra la sfera e il piano, l'equazione che trovi sarà quella di una circonferenza, solo che la proiezione su un piano (per esempio $xy$) la "schiaccia" facendola sembrare un'elisse.
Ecco, io spesso agli studenti di ingegneria sconsiglio di scrivere l'equazione generica della sfera.
E' più immediato ragionare geometricamente, guardando le condizioni che deve avere il centro della
sfera (o delle sfere).
Per "franced"....l'equazione della circonferenza a me risulta:
$T:$ $\{(x=x), (y=(4+-sqrt(4-2x^2-16x))/2), (z=y):}$
Il passaggio per i punti $R(0, 1, 1)$ e $A(-8, 1, 1)$ e la tangenza con $r$ in $R(0, 1, 1)$ vengono corretti...i conti, però li ho svolti molto frettolosamente al lavoro, magari c'è qualcosa di sbagliato!
$T:$ $\{(x=x), (y=(4+-sqrt(4-2x^2-16x))/2), (z=y):}$
Il passaggio per i punti $R(0, 1, 1)$ e $A(-8, 1, 1)$ e la tangenza con $r$ in $R(0, 1, 1)$ vengono corretti...i conti, però li ho svolti molto frettolosamente al lavoro, magari c'è qualcosa di sbagliato!
"Alexp":
Per "franced"....l'equazione della circonferenza a me risulta:
$T:$ $\{(x=x), (y=(4+-sqrt(4-2x^2-16x))/2), (z=y):}$
Il passaggio per i punti $R(0, 1, 1)$ e $A(-8, 1, 1)$ e la tangenza con $r$ in $R(0, 1, 1)$ vengono corretti...i conti, però li ho svolti molto frettolosamente al lavoro, magari c'è qualcosa di sbagliato!
A prima vista mi convince poco. Ora faccio due calcoli e vediamo.
Con il punto $R(0,1,1)$ ho trovato l'equazione
${(x^2 + y^2 + z^2 + 8x - 4y - 4z + 6 = 0),(y - z = 0):}$
${(x^2 + y^2 + z^2 + 8x - 4y - 4z + 6 = 0),(y - z = 0):}$
"franced":
Con il punto $R(0,1,1)$ ho trovato l'equazione
${(x^2 + y^2 + z^2 + 8x - 4y - 4z + 6 = 0),(y - z = 0):}$
Lo svolgimento completo è nel mio sito:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... spazio.pdf
Grazie mille Francesco per avermi dato questa risoluzione. Vorrei provare a darvi un'altra risoluzione ma non sono totalmente convinta di questa risoluzione diciamo. Partiamo dalla scrittura generalizzata di una circonferenza:
Circ: $x^2$ + $y^2$ + $\alpha$x + $\beta$y + c=0
sapendo che il centro di una circonferenza è: C($-a/2$ ; $-b/2$),
imponiamo il passaggio per R e per A, e calcoliamo la distanza tra il centro e la retta ed in questo modo troviamo il raggio.
Successivamente poniamo questi tre elementi in un sistema e troviamo quanto valgono $alpha$, $beta$ e c.
Circ: $x^2$ + $y^2$ + $\alpha$x + $\beta$y + c=0
sapendo che il centro di una circonferenza è: C($-a/2$ ; $-b/2$),
imponiamo il passaggio per R e per A, e calcoliamo la distanza tra il centro e la retta ed in questo modo troviamo il raggio.
Successivamente poniamo questi tre elementi in un sistema e troviamo quanto valgono $alpha$, $beta$ e c.
Guarda che quella che hai scritto è l'equazione della circonferenza nel piano.
L'esercizio è nello spazio!
L'esercizio è nello spazio!
"franced":
Con il punto $R(0,1,1)$ ho trovato l'equazione
${(x^2 + y^2 + z^2 + 8x - 4y - 4z + 6 = 0),(y - z = 0):}$
è esattamente lo stesso risultato postato da me....se procedi con la sostisuzione otterrai:
$2y^2+x^2+8x-8y+6=0$ da cui si recupera: $y=(4+-sqrt(4-2x^2-16x))/2$
io poi l'ho riscritta sotto forma vettoriale:
${(x=x),(y=(4+-sqrt(4-2x^2-16x))/2), (z=y):}$
"Alexp":
[quote="franced"]Con il punto $R(0,1,1)$ ho trovato l'equazione
${(x^2 + y^2 + z^2 + 8x - 4y - 4z + 6 = 0),(y - z = 0):}$
è esattamente lo stesso risultato postato da me....se procedi con la sostisuzione otterrai:
$2y^2+x^2+8x-8y+6=0$ da cui si recupera: $y=(4+-sqrt(4-2x^2-16x))/2$
io poi l'ho riscritta sotto forma vettoriale:
${(x=x),(y=(4+-sqrt(4-2x^2-16x))/2), (z=y):}$[/quote]
Di solito l'equazione di una circonferenza si scrive come ho fatto io..
Ti torna il mio procedimento?
Si, è corretto il tuo procedimento....
"Alexp":
Si, è corretto il tuo procedimento....
Su quello guarda non ci sono dubbi..
Non ho capito allora perchè mi hai fatto a domanda: Ti torna il mio procedimento?
E' ovvio che mi torna se è corretto!
E' ovvio che mi torna se è corretto!
"Alexp":
Non ho capito allora perchè mi hai fatto a domanda: Ti torna il mio procedimento?
E' ovvio che mi torna se è corretto!
Bè, potresti avere dei dubbi sulla mia risoluzione.
In fin dei conti non tutto quello che è corretto viene capito subito, no?!
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