Circonferenza unitaria di $RR^2$ come sottovarietà
Ciao a tutti,
il mio dubbio è questo: "Perchè la circonferenza unitaria di $RR^2$ non è una sottovarietà di dimensione $1$ parametrizzabile differenziale?".
Infatti sia:
$f:RR^2->RR:(x,y)->x^2+y^2-1$
Circonferenza unitaria$ = {(x,y)inRR^2|f(x,y)=0} = V$.
Una parametrizzazione della circonferenza unitaria è :
$phi:[0,2pi]->V,t->(cos(t),sin(t))$.
Quindi se esiste una parametrizzazione come è possibile che non sia parametrizzabile?
il mio dubbio è questo: "Perchè la circonferenza unitaria di $RR^2$ non è una sottovarietà di dimensione $1$ parametrizzabile differenziale?".
Infatti sia:
$f:RR^2->RR:(x,y)->x^2+y^2-1$
Circonferenza unitaria$ = {(x,y)inRR^2|f(x,y)=0} = V$.
Una parametrizzazione della circonferenza unitaria è :
$phi:[0,2pi]->V,t->(cos(t),sin(t))$.
Quindi se esiste una parametrizzazione come è possibile che non sia parametrizzabile?
Risposte
Mica è una parametrizzazione quella là.
La risposta alla domanda esistenziale, comunque, è: perché la tua varietà è compatta! 
Grazie ragazzi,
però non ho capito per quale motivo se definisco una $phi$
${(x=cos(t)),(y=sin(t)):}$ con $tin[0,2pi]$
questa perchè non dovrebbe essere una parametrizzazione della circonferenza?
Infatti trovo in funzione di un parametro tutti i punti che stanno sulla circonferenza unitaria!
però non ho capito per quale motivo se definisco una $phi$
${(x=cos(t)),(y=sin(t)):}$ con $tin[0,2pi]$
questa perchè non dovrebbe essere una parametrizzazione della circonferenza?
Infatti trovo in funzione di un parametro tutti i punti che stanno sulla circonferenza unitaria!
1) Il dominio di \(\phi\) non è un aperto;
2) \(\phi\) non è ingettiva.
Direi che basta.
2) \(\phi\) non è ingettiva.
Direi che basta.
Ok ma è una parametrizzazione in misura di $V$.
???
che cos'è una "parametrizzazione in misura"? E poi inutile affannarsi a cercarla, una parametrizzazione della circonferenza implicherebbe l'esistenza di un omeomorfismo tra la circonferenza e un intervallo aperto, e questo non può esistere perché la circonferenza è compatta. Fine.
che cos'è una "parametrizzazione in misura"? E poi inutile affannarsi a cercarla, una parametrizzazione della circonferenza implicherebbe l'esistenza di un omeomorfismo tra la circonferenza e un intervallo aperto, e questo non può esistere perché la circonferenza è compatta. Fine.
Ok.
p.s la definizione di parametrizzazione in misura è abbastanza complicata per sottovarietà di $RR^n$ $m$-dimensionali, intuitivamente se abbiamo una sottovarietà di $RR^n$ $n$-dimensionale una parametrizzazione in misura è una parametrizzazione riconducibile a un diffeomorfismo mediante l'aggiunta/toglimento di insiemi a misura nulla.
Le parametrizzazioni in misura possono essere usate ad esempio nel calcolo integrale:
es: lunghezza di una circonferenza unitaria ($gamma$).
$lung(gamma)=int_gamma 1*ds=int_0^(2pi)1*sqrt(gamma_(phi'(t)))dt$
Sia $phi:[0,2pi]->V,t->(cos(t),sin(t))$, allora $phi'(t)=(-sin(t),cos(t))$.
In questo caso semplice $gamma_(phi'(t))=$$=||phi'(t)||^2=1$
$lung(gamma)=int_0^(2pi)1*sqrt(gamma_(phi'(t)))dt=int_0^(2pi)1*dt=2pi$
Per curiosità te come fai allora a ottenere le formule per i volumi, aree e lunghezze?
p.s la definizione di parametrizzazione in misura è abbastanza complicata per sottovarietà di $RR^n$ $m$-dimensionali, intuitivamente se abbiamo una sottovarietà di $RR^n$ $n$-dimensionale una parametrizzazione in misura è una parametrizzazione riconducibile a un diffeomorfismo mediante l'aggiunta/toglimento di insiemi a misura nulla.
Le parametrizzazioni in misura possono essere usate ad esempio nel calcolo integrale:
es: lunghezza di una circonferenza unitaria ($gamma$).
$lung(gamma)=int_gamma 1*ds=int_0^(2pi)1*sqrt(gamma_(phi'(t)))dt$
Sia $phi:[0,2pi]->V,t->(cos(t),sin(t))$, allora $phi'(t)=(-sin(t),cos(t))$.
In questo caso semplice $gamma_(phi'(t))=
$lung(gamma)=int_0^(2pi)1*sqrt(gamma_(phi'(t)))dt=int_0^(2pi)1*dt=2pi$
Per curiosità te come fai allora a ottenere le formule per i volumi, aree e lunghezze?
Non sapevo avessero un nome!
Te come le chiamavi ? 
Eh, appunto, non le chiamavo! Grazie della rivelazione!
Grazie della rivelazione!
Di niente
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