Circonferenza per tre punti
Salve, sono alle prese con un problema di geometria la cui soluzione mi lascia "perplesso" (non coincide con quella del libro ma presumo sia corretta, quindi mi affido a voi 
)
Il problema è trovare l'equazione della circonferenza passante per P1(1,0,0) P2(0,1,0) P3(0,0,1).
La circonferenza è definita:\(\displaystyle \begin{cases} ax+by+cz+d=0 \\ S=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\alpha x+\beta y+\gamma z+\rho=0 \end{cases} \)
Ho quindi immaginato il problema e supposto che il piano che "taglia" la sfera debba contenere per forza quei punti, quindi, dalla generica equazione del piano: \(\displaystyle \pi=ax+by+cz+d=0 \)
Ho dedotto il seguente sistema: \(\displaystyle \begin{cases} a+d=0 \\ b+d=0 \\ c+d=0 \end{cases} \)
da cui risolvendo ho ricavato che: \(\displaystyle \pi=x+y+z-1=0 \)
Lo stesso ragionamento l'ho fatto per la sfera:
Da \(\displaystyle S=x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+by+cz+d=0 \)
E il sistema risulta simile al precedente:
\(\displaystyle \begin{cases} 1+a+d=0 \\ 1+b+d=0 \\ 1+c+d=0 \end{cases} \)
Quindi \(\displaystyle a=b=c \) e \(\displaystyle d=-1-a \)
Sostituendo nell'equazione della sfera:
\(\displaystyle S=x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+ay+az-1-a=0 =x^{2}+y^{2}+z^{2}+a(x+y+z-1)-1=0 \)
Ma dal momento che \(\displaystyle x+y+z-1=0 \) allora l'equazione della sfera è: \(\displaystyle S=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0 \)
Quindi:
\(\displaystyle C= \begin{cases} x+y+z-1=0 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0 \end{cases} \)
Ma la soluzione del libro è :
\(\displaystyle C= \begin{cases} x+y+z-1=0 \\ (x-\frac{1}{3})^{2}+(y-\frac{1}{3})^{2}+(z-\frac{1}{3})^{2}=\frac{2}{3} \end{cases} \)
A me sembra corretta la mia soluzione dal momento che ho immaginato che la mia circonferenza sia in realtà una sfera di centro (0,0,0) e contenente quei punti (quindi di raggio 1), e il piano sia un piano che la taglia in quei punti. Dove sbaglio?
)Il problema è trovare l'equazione della circonferenza passante per P1(1,0,0) P2(0,1,0) P3(0,0,1).
La circonferenza è definita:\(\displaystyle \begin{cases} ax+by+cz+d=0 \\ S=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\alpha x+\beta y+\gamma z+\rho=0 \end{cases} \)
Ho quindi immaginato il problema e supposto che il piano che "taglia" la sfera debba contenere per forza quei punti, quindi, dalla generica equazione del piano: \(\displaystyle \pi=ax+by+cz+d=0 \)
Ho dedotto il seguente sistema: \(\displaystyle \begin{cases} a+d=0 \\ b+d=0 \\ c+d=0 \end{cases} \)
da cui risolvendo ho ricavato che: \(\displaystyle \pi=x+y+z-1=0 \)
Lo stesso ragionamento l'ho fatto per la sfera:
Da \(\displaystyle S=x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+by+cz+d=0 \)
E il sistema risulta simile al precedente:
\(\displaystyle \begin{cases} 1+a+d=0 \\ 1+b+d=0 \\ 1+c+d=0 \end{cases} \)
Quindi \(\displaystyle a=b=c \) e \(\displaystyle d=-1-a \)
Sostituendo nell'equazione della sfera:
\(\displaystyle S=x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+ay+az-1-a=0 =x^{2}+y^{2}+z^{2}+a(x+y+z-1)-1=0 \)
Ma dal momento che \(\displaystyle x+y+z-1=0 \) allora l'equazione della sfera è: \(\displaystyle S=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0 \)
Quindi:
\(\displaystyle C= \begin{cases} x+y+z-1=0 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0 \end{cases} \)
Ma la soluzione del libro è :
\(\displaystyle C= \begin{cases} x+y+z-1=0 \\ (x-\frac{1}{3})^{2}+(y-\frac{1}{3})^{2}+(z-\frac{1}{3})^{2}=\frac{2}{3} \end{cases} \)
A me sembra corretta la mia soluzione dal momento che ho immaginato che la mia circonferenza sia in realtà una sfera di centro (0,0,0) e contenente quei punti (quindi di raggio 1), e il piano sia un piano che la taglia in quei punti. Dove sbaglio?
Risposte
La sfera versione LIBRO passa per quei tre punti. la tua, anche.
Un pensiero:
Immagina due bolle di sapone sferiche attaccate. Immaginale per semplicità di identico raggio. Sai bene che si forma un piano (che taglia entrambe le sfere) che definisce UNA circonferenza. Ho provato ( ammira il rigore e la formalità della mia dimostrazione ! ! ! ) che:
Dati tre punti, l'unica circonferenza $C$ passante per essi, può essere definita mediante l'equazione di (quantomeno - dato che non ho provato l'unicità (*) ) due sfere, mentre il piano è univocamente determinato (D'altronde per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano).
Non a caso il risultato del libro riporta lo stesso tuo piano ma una sfera diversa dalla tua. (Facile da provare.. Diverso centro..). Ma, data una sfera qualsiasi $S$ e un piano qualsiasi $pi$, si ha che $S cap pi$ può essere il vuoto, un punto, una circonferenza. In questo caso i tre punti (in ambo le versioni) appartengono a $S cap pi$ dunque entrambe le versioni di soluzione, individuano una circonferenza passante per tre punti. Quindi è la stessa circonferenza! Quindi (salvo tuoi errori nei conti) entrambe le soluzioni vanno bene. Ti faccio anche notare che (se non ho sbagliato i conti) le sfere in questione NON hanno lo stesso raggio, quindi in questa maniera posso dire di aver provato che non sussiste l'unicità nel famosissimo teorema delle BOLLE DI SAPONE. (*)
Divertiti a trovare la sfera "bolla gemella" come in questa figura. Avrai in totale tre risultati ! Magari altri ancora...
http://postimage.org/image/a1yzbwkyj/
Un pensiero:
Immagina due bolle di sapone sferiche attaccate. Immaginale per semplicità di identico raggio. Sai bene che si forma un piano (che taglia entrambe le sfere) che definisce UNA circonferenza. Ho provato ( ammira il rigore e la formalità della mia dimostrazione ! ! ! ) che:
Dati tre punti, l'unica circonferenza $C$ passante per essi, può essere definita mediante l'equazione di (quantomeno - dato che non ho provato l'unicità (*) ) due sfere, mentre il piano è univocamente determinato (D'altronde per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano).
Non a caso il risultato del libro riporta lo stesso tuo piano ma una sfera diversa dalla tua. (Facile da provare.. Diverso centro..). Ma, data una sfera qualsiasi $S$ e un piano qualsiasi $pi$, si ha che $S cap pi$ può essere il vuoto, un punto, una circonferenza. In questo caso i tre punti (in ambo le versioni) appartengono a $S cap pi$ dunque entrambe le versioni di soluzione, individuano una circonferenza passante per tre punti. Quindi è la stessa circonferenza! Quindi (salvo tuoi errori nei conti) entrambe le soluzioni vanno bene. Ti faccio anche notare che (se non ho sbagliato i conti) le sfere in questione NON hanno lo stesso raggio, quindi in questa maniera posso dire di aver provato che non sussiste l'unicità nel famosissimo teorema delle BOLLE DI SAPONE. (*)
Divertiti a trovare la sfera "bolla gemella" come in questa figura. Avrai in totale tre risultati ! Magari altri ancora...
http://postimage.org/image/a1yzbwkyj/
Ottimo! Grazie per la risposta...veramente chiara!
Ti dirò che avevo immaginato anche io la stessa cosa (Banalmente avevo pensato: se una circonferenza "si appoggia" sull'asse x (il piano x=0 la "taglia"), una sfera che la determina è proprio una che sta sull'asse x con stesso raggio, ma "ingrandendo" la sfera e spostandosi in alto o in basso trovo la stessa circonferenza, ovviamente fissando gli opportuni parametri) , ma non ho azzardato a prenderla come verità (ho poca fiducia delle mie abilità!
), ed era proprio questo il mio dubbio, che tu hai chiarito.
Grazie ancora
Ti dirò che avevo immaginato anche io la stessa cosa (Banalmente avevo pensato: se una circonferenza "si appoggia" sull'asse x (il piano x=0 la "taglia"), una sfera che la determina è proprio una che sta sull'asse x con stesso raggio, ma "ingrandendo" la sfera e spostandosi in alto o in basso trovo la stessa circonferenza, ovviamente fissando gli opportuni parametri) , ma non ho azzardato a prenderla come verità (ho poca fiducia delle mie abilità!
), ed era proprio questo il mio dubbio, che tu hai chiarito.Grazie ancora
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