Circonferenza passante per 3 punti nello spazio
salve! ho trovato difficolta a svolgere questo esercizio malgrado mi sembrasse abbastana semplice:
determinare la circonferenza passante per i punti $(2 1 0), (2 0 1), (0 2 1)$
io ho pensato di impostarlo cosi: dovendo appartenere a una circonferenza i punti appartengono al piano S: $-2x+3y-z+1=0$
poi pensavo di imporre la distanza di un generico punto $ C ( x y z)$ uguale rispetto a tutti e tre i punti dati. facendo questa operazione ottengo $ x=y=z$. e qui mi blocco! devo trovare quindi un punto che appartenga a S che abbia $x=y=z$??
grazie mille!
determinare la circonferenza passante per i punti $(2 1 0), (2 0 1), (0 2 1)$
io ho pensato di impostarlo cosi: dovendo appartenere a una circonferenza i punti appartengono al piano S: $-2x+3y-z+1=0$
poi pensavo di imporre la distanza di un generico punto $ C ( x y z)$ uguale rispetto a tutti e tre i punti dati. facendo questa operazione ottengo $ x=y=z$. e qui mi blocco! devo trovare quindi un punto che appartenga a S che abbia $x=y=z$??
grazie mille!
Risposte
Considera la retta $[AB]$ giacente sul piano della circonferenza. Sia $M$ il punto medio del segmento $AB$. Sia $alpha$ il piano perpendicolare alla retta $[AB]$ per $M$. Allora il centro della circonferenza giacerà su $alpha nn pi$ dove $pi$ è il piano della circonferenza. Prendi un punto generico di questa retta. Imponendo che la distanza di questo punto sia la medesima tra $A$ e $C$ ottieni le coordinate del tuo dentro. Ovviamente la distanza è il raggio.
Se i punti sono \( A(2,1,0),B(2,0,1), C(0,2,1)\) basta osservare che la somma delle coordinate è uguale a \(3 \) mentre la somma dei quadrati delle coordinate è \(5\) per ogni punto, quindi i tre punti appartengono al piano
\(\pi:x+y+z-3=0\)
e alla sfera
\( x^2+y^2+z^2-5=0\)
\(\pi:x+y+z-3=0\)
e alla sfera
\( x^2+y^2+z^2-5=0\)
grazie mille! tutto chiaro adesso preferisco il primo metodo che è piu rigoroso e lo prendo come esempio per svolgere esercizi di questo tipo.
volevo chiedere una cosa sola, osservando le coordinate dei punti, in particolare che la somma è 3 e la somma dei quadrati 5 cosa c'azzecca con il piano e con la sfera passanti per essi? cioè dati tre punti se hanno questa caratteristica possiamo determinare piano e sfera passanti per tutti e tre solamente ponendo prima il termine noto uguale a la somma delle coordinate. e per la sfera invece ponendo il raggio uguale alla somma dei quadrati delle coordinate?
volevo chiedere una cosa sola, osservando le coordinate dei punti, in particolare che la somma è 3 e la somma dei quadrati 5 cosa c'azzecca con il piano e con la sfera passanti per essi? cioè dati tre punti se hanno questa caratteristica possiamo determinare piano e sfera passanti per tutti e tre solamente ponendo prima il termine noto uguale a la somma delle coordinate. e per la sfera invece ponendo il raggio uguale alla somma dei quadrati delle coordinate?
il procedimento mi è chiaro pero svolgendo i conti trovo delle difficolta:
in particolare ho trovato il punto M $( 2 , 1/2, 1/2)$, la retta passante per AB mi viene $\{(x=2),(y=1-t),(z=t):}$ quindi con parametri direttori $(0,.1, 1)$ che dovrebbero essere i soliti anche per il piano passante per M e perpendicolare alla retta AB se non sbaglio. tuttavia se sostituisco in un'equazione generica di un piano $ax+by+cz+d=0$ i valori dei parametri la x mi va via e ottengo dopo aver sostituito anche il punto $z-y+2=0$ che non è un piano. poi ho pensato che comunque la x non compare perche è sempre 2, quindi il piano lo dovrei scrivere cosi $\{(x=2),(z-y+2=0):}$?
in particolare ho trovato il punto M $( 2 , 1/2, 1/2)$, la retta passante per AB mi viene $\{(x=2),(y=1-t),(z=t):}$ quindi con parametri direttori $(0,.1, 1)$ che dovrebbero essere i soliti anche per il piano passante per M e perpendicolare alla retta AB se non sbaglio. tuttavia se sostituisco in un'equazione generica di un piano $ax+by+cz+d=0$ i valori dei parametri la x mi va via e ottengo dopo aver sostituito anche il punto $z-y+2=0$ che non è un piano. poi ho pensato che comunque la x non compare perche è sempre 2, quindi il piano lo dovrei scrivere cosi $\{(x=2),(z-y+2=0):}$?
Piano passante per tre punti:
\(
\left|\begin{array}{cccc}
x & y & z & 1\\
x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1\\
x_{2} & y_{2} & z_{2} & 1\\
x_{3} & y_{3} & z_{3} & 1
\end{array}\right|=0
\), \(
\left|\begin{array}{cccc}
x & y & z & 1\\
2 & 1 & 0 & 1\\
2 & 0 & 1 & 1\\
0 & 2 & 1 & 1
\end{array}\right|=0
\)
sviluppando si ottiene: \( x+y+z-3=0\)
La distanza dei tre punti punti dall'origine è ugale a \( \sqrt{5}\) quindi i tre punti appartengono alla sfera \( x^2+y^2+z^2=5\)
La circonferenza richiesta è l'intersezione tra la sfera e il piano.
Chi ha creato questo esercizio ha scelto i dati in modo che si possa risolvere in modo immediato e in modo più laborioso.
\(
\left|\begin{array}{cccc}
x & y & z & 1\\
x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1\\
x_{2} & y_{2} & z_{2} & 1\\
x_{3} & y_{3} & z_{3} & 1
\end{array}\right|=0
\), \(
\left|\begin{array}{cccc}
x & y & z & 1\\
2 & 1 & 0 & 1\\
2 & 0 & 1 & 1\\
0 & 2 & 1 & 1
\end{array}\right|=0
\)
sviluppando si ottiene: \( x+y+z-3=0\)
La distanza dei tre punti punti dall'origine è ugale a \( \sqrt{5}\) quindi i tre punti appartengono alla sfera \( x^2+y^2+z^2=5\)
La circonferenza richiesta è l'intersezione tra la sfera e il piano.
Chi ha creato questo esercizio ha scelto i dati in modo che si possa risolvere in modo immediato e in modo più laborioso.
ho notato che quasi sempre i vettori dati hanno le caratteristiche che ha notato totissimus. Anche perche il tempo per farli non permette di perdersi in conti laboriosi.
vi ringrazio dell'aiuto! E devo dire che mi sto trovando molto bene su questo forum.
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