Circonferenza passante per 3 punti dati
Ciao a tutti
dovrei calcolare centro e raggio di una circonferenza passante per 3 punti dati. Mi dareste una mano?
Grazie mille
DARIO
dovrei calcolare centro e raggio di una circonferenza passante per 3 punti dati. Mi dareste una mano?
Grazie mille
DARIO
Risposte
Diciamo che un metodo potrebbe essere imporre il passaggio e calcolare i coefficienti di
$x^2+y^2+ax+by+c=0$
Sono 3 equazioni in 3 incognite.
$x^2+y^2+ax+by+c=0$
Sono 3 equazioni in 3 incognite.
Ciao e grazie per la risposta
tu dici di creare 3 equazioni sostituendo le coordinate dei tre punti nelle tre equazioni? Ho capito bene?
E poi risolvo il sistema?
Mi proponi l'equazione della circonferenza piana in XY ma io ho tre punti nello spazio in XYZ, è lo stesso?
Grazie
DARIO
tu dici di creare 3 equazioni sostituendo le coordinate dei tre punti nelle tre equazioni? Ho capito bene?
E poi risolvo il sistema?
Mi proponi l'equazione della circonferenza piana in XY ma io ho tre punti nello spazio in XYZ, è lo stesso?
Grazie
DARIO
Non è lo stesso! Se è nello spazio necessiti anche dell'eventuale angolo di rotazione della stessa. Una circonferenza per sua natura è una curva piana. Componi questa con una rotazione generica (in due assi) e otterrai il sistema.
Ok, ho capito!
ci provo e mi rifaccio vivo
grazie ancora
Ciao
DARIO
ci provo e mi rifaccio vivo
grazie ancora
Ciao
DARIO
"Lord K":
Diciamo che un metodo potrebbe essere imporre il passaggio e calcolare i coefficienti di
$x^2+y^2+ax+by+c=0$
Sono 3 equazioni in 3 incognite.
Sì, questa che dici tu è la soluzione più "algebrica" del problema.
A me piace invece la soluzione più "geometrica":
determinando le coordinate del circocentro del triangolo.
@ franced: Ti dispiacerebbe entrare un po' nel dettaglio? Anche io avrei risolto il problema nella maniera algebrica che si diceva, ma non mi soddisfa come procedimento.
Per prima cosa: qual'è la definizione di circocentro, in uno spazio affine? Come possiamo calcolarne le coordinate relativamente ai vertici del triangolo? Grazie!
P.S.: Ora che ci penso, per definire una cosa come il "circocentro" forse è necessaria una struttura di spazio euclideo.
Per prima cosa: qual'è la definizione di circocentro, in uno spazio affine? Come possiamo calcolarne le coordinate relativamente ai vertici del triangolo? Grazie!
P.S.: Ora che ci penso, per definire una cosa come il "circocentro" forse è necessaria una struttura di spazio euclideo.
"dissonance":
@ franced: Ti dispiacerebbe entrare un po' nel dettaglio? Anche io avrei risolto il problema nella maniera algebrica che si diceva, ma non mi soddisfa come procedimento.
Per prima cosa: qual'è la definizione di circocentro, in uno spazio affine? Come possiamo calcolarne le coordinate relativamente ai vertici del triangolo? Grazie!
Prova a vedere il problema in questo modo:
trova il punto del piano equidistante dai tre punti assegnati.
Tale punto è proprio il circocentro del triangolo che ha per vertici
i tre punti..
e si trova intersecando una coppia di assi.
@ franced: Questo metodo è facile e richiede MOLTI meno calcoli della "forza bruta". Però bisogna ricordarsi che il circocentro di un triangolo è l'intersezione dei tre assi, e questo me lo ero proprio scordato. Vedrò di rimediare in questo fine settimana.
"dissonance":
@ franced: Questo metodo è facile e richiede MOLTI meno calcoli della "forza bruta". Però bisogna ricordarsi che il circocentro di un triangolo è l'intersezione dei tre assi, e questo me lo ero proprio scordato. Vedrò di rimediare in questo fine settimana.
Basta intersecare solo due assi, il terzo asse passa automaticamente
dal punto di intersezione dei primi due.
Chiaramente siamo sotto l'ipotesi che i tre punti non siano allineati.
Faccio un esempio facile per illustrare il metodo proposto da franced. Consideriamo in un piano Euclideo (con un opportuno riferimento cartesiano) il triangolo di vertici $(0,0), (0,1), (1,0)$. E' immediato capire che la circonferenza passante per i tre punti deve avere centro in $(1/2, 1/2)$ e raggio $sqrt(2)$.
Verifichiamo che con questo metodo otteniamo il risultato corretto. Troviamo gli assi(*) di due lati del triangolo, chiaramente considereremo il lato $bar{(0,0)(1,0)}$ e quello $bar{(0,0)(0,1)}$ (i due cateti per intenderci). I rispettivi punti medi sono $(1/2,0), (0, 1/2)$, ed è immediato rendersi conto che le perpendicolari agli assi sono le rette $r: x=1/2$, $s: y=1/2$. Queste rette si intersecano nel punto $(x, y)=(1/2,1/2)$. Per concludere basta calcolare la distanza tra questo punto e uno qualsiasi dei vertici del triangolo (sono equidistanti). Chiaramente la cosa più facile è calcolare la lunghezza del segmento $bar{(1/2, 1/2), (0,0)}$, che è $sqrt(2)/2$.
Concludiamo che la circonferenza cercata è quella avente centro in $(1/2, 1/2)$ e raggio $sqrt(2)/2$, come volevamo dimostrare.
[asvg]xmin=-0.5; xmax=1.5; ymin=-0.5; ymax=1.5;
axes();
stroke="black";
line([0,0], [0,1]); line([0,1], [1,0]);line([1,0], [0,0]);
stroke="gray";
line([1/2,0],[1/2, 1/2]); line([1/2, 1/2], [0, 1/2]);
stroke="red";
circle([1/2, 1/2], 1.44/2);[/asvg]
______________________
(*) assi=rette perpendicolari al punto medio di un segmento.
Verifichiamo che con questo metodo otteniamo il risultato corretto. Troviamo gli assi(*) di due lati del triangolo, chiaramente considereremo il lato $bar{(0,0)(1,0)}$ e quello $bar{(0,0)(0,1)}$ (i due cateti per intenderci). I rispettivi punti medi sono $(1/2,0), (0, 1/2)$, ed è immediato rendersi conto che le perpendicolari agli assi sono le rette $r: x=1/2$, $s: y=1/2$. Queste rette si intersecano nel punto $(x, y)=(1/2,1/2)$. Per concludere basta calcolare la distanza tra questo punto e uno qualsiasi dei vertici del triangolo (sono equidistanti). Chiaramente la cosa più facile è calcolare la lunghezza del segmento $bar{(1/2, 1/2), (0,0)}$, che è $sqrt(2)/2$.
Concludiamo che la circonferenza cercata è quella avente centro in $(1/2, 1/2)$ e raggio $sqrt(2)/2$, come volevamo dimostrare.
[asvg]xmin=-0.5; xmax=1.5; ymin=-0.5; ymax=1.5;
axes();
stroke="black";
line([0,0], [0,1]); line([0,1], [1,0]);line([1,0], [0,0]);
stroke="gray";
line([1/2,0],[1/2, 1/2]); line([1/2, 1/2], [0, 1/2]);
stroke="red";
circle([1/2, 1/2], 1.44/2);[/asvg]
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(*) assi=rette perpendicolari al punto medio di un segmento.
Ciao a tutti!
sono contento che ci siano risposte al mio quesito... così non mi sento stupido
)
Una domanda alla soluzione di dissonance: ma se noi avessimo tre punti di coordinate (5,25) (8,12)(3,5) al posto delle coordinate che hai dato tu (cioè le coordinate del centro non sono immediatamente "visibili") come calcolo le coordinate del centro ed il raggio? Con quale algoritmo? Una soluzione percorribile, potrebbe essere la corda passante per il primo ed il terzo punto?
Grazie di tutto
sono contento che ci siano risposte al mio quesito... così non mi sento stupido
)Una domanda alla soluzione di dissonance: ma se noi avessimo tre punti di coordinate (5,25) (8,12)(3,5) al posto delle coordinate che hai dato tu (cioè le coordinate del centro non sono immediatamente "visibili") come calcolo le coordinate del centro ed il raggio? Con quale algoritmo? Una soluzione percorribile, potrebbe essere la corda passante per il primo ed il terzo punto?
Grazie di tutto
Non ho capito la domanda, sinceramente. Nell'esempio di sopra ho scelto tre punti ad hoc per semplificare i conti, in modo da non impestare il forum di calcoli e illustrare il concetto. Ma l'algoritmo è sempre lo stesso. Lo illustro sinteticamente, se ci dovessero essere imprecisioni prego franced di correggere.
1) Troviamo gli assi di due lati del triangolo. Come si fa? Applicando la definizione: l'asse di un segmento è la retta perpendicolare passante per il punto medio. (*)
2) Calcoliamo il punto di incidenza di queste due rette. Questo punto è il circocentro del triangolo.
3) Infine calcoliamo la distanza del circocentro da uno qualsiasi dei tre vertici.
La circonferenza cercata ha centro nel circocentro e raggio questa distanza. Fine.
______________________________
(*) E' sufficiente trovare due soli assi, si dimostra infatti che tutti e tre si intersecano nello stesso punto.
1) Troviamo gli assi di due lati del triangolo. Come si fa? Applicando la definizione: l'asse di un segmento è la retta perpendicolare passante per il punto medio. (*)
2) Calcoliamo il punto di incidenza di queste due rette. Questo punto è il circocentro del triangolo.
3) Infine calcoliamo la distanza del circocentro da uno qualsiasi dei tre vertici.
La circonferenza cercata ha centro nel circocentro e raggio questa distanza. Fine.
______________________________
(*) E' sufficiente trovare due soli assi, si dimostra infatti che tutti e tre si intersecano nello stesso punto.
Oh!!! adesso si che mi sento stupido!!! 
Ho capito e già anche applicato al mio software!
Grazie mille! ci risentiremo sicuramente
DARIO
Ho capito e già anche applicato al mio software!
Grazie mille! ci risentiremo sicuramente
DARIO
una piccola annotazione:
questa è passata come "definizione operativa" dell'asse di un segmento, ma la "vera" definizione è "l'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento".
la dimostrazione del fatto che i tre assi dei lati di un triangolo si incontrano in uno stesso punto è basata su questa definizione. la dimostrazione dell'equivalenza tra le due definizioni è di natura prettamente geometrica e si basa sul fatto che i punti appartenenti alla retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio sono tutti e soli i punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
spero di essere stata chiara ed utile. ciao.
1) Troviamo gli assi di due lati del triangolo. Come si fa? Applicando la definizione: l'asse di un segmento è la retta perpendicolare passante per il punto medio. (*)
(*) E' sufficiente trovare due soli assi, si dimostra infatti che tutti e tre si intersecano nello stesso punto.
questa è passata come "definizione operativa" dell'asse di un segmento, ma la "vera" definizione è "l'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento".
la dimostrazione del fatto che i tre assi dei lati di un triangolo si incontrano in uno stesso punto è basata su questa definizione. la dimostrazione dell'equivalenza tra le due definizioni è di natura prettamente geometrica e si basa sul fatto che i punti appartenenti alla retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio sono tutti e soli i punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
spero di essere stata chiara ed utile. ciao.
"adaBTTLS":
una piccola annotazione:
...
spero di essere stata chiara ed utile. ciao.
Moltissimo, entrambe le cose. [OT]Sto appunto rivedendo il mio libro di geometria piana di quando andavo a scuola, il Cateni-Fortini-Bernardi. Non me lo ricordavo così ben fatto. Comunque, ora capisco perché i tre assi si incontrano in un solo punto. Se li definiamo come dici tu, è abbastanza facile dimostrarlo. Parecchio più laborioso è farlo con la definizione che dicevo io.[/ot]
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