Circonferenza passante per 3 punti

vittorino70

29 apr 2012, 07:30

Si potrebbe fare così. Si trova dapprima l'equazione del piano (OAB) che risulta essere $\displaystyle x+y-z=0 $ , come puoi verificare da solo. Successivamente si trova l'equazione di una delle infinite superfici sferiche passanti per quei tre punti.
Ora l'equazione della generica superfice sferica dello spazio euclideo, passante per O, è :
$\displaystyle x^2+y^2+z^2+ax+by+cz=0 $
Imponendo il passaggio anche per A e B si ottiene il sistema :
$\displaystyle \begin{cases}a+c=-4\\a+b+2c=-6\end{cases} $
Siccome le incognite sono 3 mentre le equazioni sono solo due occorre fissare il valore di una delle incognite.
Ponendo , ad esempio, $\displaystyle c=0 $ si ha la soluzione $\displaystyle a=-4,b=-2 $ e quindi l'equazione della
superficie sferica è :
$\displaystyle x^2+y^2+z^2-4x-2y=0 $
Le equazioni della circonferenza richiesta saranno allora date dal sistema :
$\displaystyle \begin{cases}x+y-z=0\\x^2+y^2+z^2-4x-2y=0\end{cases} $
Naturalmente scegliendo un diverso valore per l'incognita $\displaystyle c $ si otterrà una diversa equazione per la superficie sferica ma la circonferenza rimane la medesima ( che è poi quello che interessa ).

Vito L

29 apr 2012, 15:00

Grazie mille vittorino70!

Esercizio fatto e capito! Saresti così gentile da aiutarmi anche col punto b?

Si determinino equazioni della retta $t$ tangente $C$ in $O$

vittorino70

29 apr 2012, 16:54

La retta tangente in O alla circonferenza non è nient'altro che l'intersezione tra il piano dove giace la circonferenza , ovvero il piano $\displaystyle x+y-z=0 $, ed il piano tangente in O alla superficie sferica. In questo caso siamo fortunati perché il piano tangente in O alla superficie sferica ( o a qualsiasi quadrica passante per O) si trova molto semplicemente ponendo uguale a zero il complesso dei termini di primo grado dell'equazione di detta superficie. Nel nostro caso è $\displaystyle -4x-2y=0 $ oppure $\displaystyle 2x+y=0 $. Pertanto le equazioni della tangente richiesta sono date dal sistema :
$\displaystyle \begin{cases}2x+y=0\\x+y-z=0 \end{cases}$
Se non conosci quella regola del complesso dei termini puoi trovare il piano tangente alla superficie sferica con altri modi che troverai sicuramente sul tuo libro di testo.

Vito L

29 apr 2012, 17:25

Grazie mille vittorino70!

Non so davvero come ringraziarti

Sto preparando l'esame di Geometria 1 e 2 e per alcune tracce non so proprio da dove cominciare! Se però c'è gente come te che mi da una mano in questa maniera..allora sono un pò più tranquillo! Grazie ancora!

Vito L

30 apr 2012, 14:07

Salve Vittorino70!

sarebbe così gentile da aiutarmi anche con quest'altro esercizio sempre sulla circonferenza?

FIssato in uno spazio euclideo un riferimento cartesiano, si consideri la circonferenza
$C$ : $\{ (x^2+y^2+z^2=2),(x+y=1):}$
Si determinino centro e raggio di $\C$.

Grazie mille

Vito L

vittorino70

30 apr 2012, 15:25

Ho cambiato un po' i nomi. Precisamente ho indicato con $\displaystyle \pi $ il piano $\displaystyle x+y=1 $ secante la superficie sferica $\displaystyle x^2+y^2+z^2=2 $, con $\displaystyle \gamma $ la circonferenza sezione e con K il centro di quest'ultima . Come vedi dalla figura , il centro K è l'ntersezione tra il piano $\displaystyle \pi $ e la normale OK condotta ad esso da O. Pertanto, per noti procedimenti, K è dato dal sistema :
$\displaystyle \begin{cases}x+y=1 \\x=y\\z=0\end{cases}$
Da cui si ricava che è : $\displaystyle K(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0) $
Adesso si calcola la distanza OK ( che ci serve per trovare il raggio di $\displaystyle \gamma ) $ :
$\displaystyle OK=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+0} =\frac{\sqrt2}{2} $
Tenuto conto che OB è il raggio della superficie sferica ed è uguale a $\displaystyle \sqrt2 $, con Pitagora puoi trovare il raggio KB di $\displaystyle \gamma $ :
$\displaystyle KB=\sqrt{OB^2-OK^2}=\sqrt{2-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}} $

P.S. Che fai , mi dai del "lei" ? Guarda che quel "70" che vedi nel mio nick non indica né la mia età , né la mia data di nascita !

Vito L

30 apr 2012, 21:18

ahahah

perdonami

Allora, avrei una domanda. Verso la fine dici che il raggio della superficie sferica è uguale a $\sqrt(2)$. Il problema è che io pensavo che l'equazione della sfera $\x^2+y^2+z^2=2$ fosse espressa nella forma cartesiana più generale $\x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ (fonte Wikipedia) ove nel nostro caso $\a=0$,$b=0$,$c=0$ e $d=-2$. Ho ad esempio trovato il centro della sfera (sempre fonte Wikipedia) con la formula $C=(-a/2,-b/2,-c/2)$.
Per quanto riguarda il raggio però a questo punto ho le idee un pò confuse. Usando la formula che c'è sempre su Wiki riguardante la sfera con centro $\(x0,y0,z0)$ e raggio $r$, ovvero $\(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2$, la determinazione del raggio è evidente, ma con l'equazione in forma cartesiana espressa prima come funziona? E soprattutto quella data nella traccia, in che forma è? Spero di essere stato chiaro

E grazie ancora per l'aiuto/sopportazione

vittorino70

1 mag 2012, 08:06

Ti rispondo con una precisazione ( forse più utile a me che a te). Nel tuo problema ci sono due oggetti : uno è la superficie sferica di equazione $\displaystyle x^2+y^2+z^2-2=0 $, un altro è la circonferenza C ( che io ho chiamato $\displaystyle \gamma $ nella figura) di equazioni $\displaystyle \begin{cases}x^2+y^2+z^2=2\\x+y=1\end{cases} $ Per la superficie sferica si vede a occhio che ha il centro in O(0,0,0) è il raggio $\displaystyle r=\sqrt2 $. Comunque allo stesso risultato arrivi applicando le formule che tu pure hai ricordato. Ovvero l'equazione della generica superficie sferica dello spazio cartesiano (euclideo) è $\displaystyle x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0 $ ed il centro ed il raggio sono dati dalle formule :
centro =$\displaystyle ( -\frac{a}{2}, -\frac{b}{2},-\frac{c}{2}) $, raggio=$\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2-4d} $
Nel caso tuo è $\displaystyle a=0,b=0,c=0,d=-2 $ e quindi hai :
centro =$\displaystyle O(0,0,0) $,raggio=$\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{0^2+0^2+0^2-4(-2)} =\sqrt2$
Per l'altro oggetto, cioé la circonferenza C, devi seguire il procedimento che ti ho già indicato.

Vito L

1 mag 2012, 21:37

Perfetto

Grazie mille per il chiarimento

Se ti va mi aiuteresti anche col punto 2?

Si determinino equazioni delle rette $\t1$ e $\t2$ tangenti $C$ e incidenti la retta ${(x=0),(z=2):}$

Grazie ancora,
Vito L

vittorino70

2 mag 2012, 15:08

Vi sono un paio di modi per risolvere il tuo problema che è comunque complesso. Utilizzo quello che fa uso della polarità ( supponendo che tu l'abbia studiato),altrimenti vediamo che si può fare...
Il punto P da cui partono le due tangenti è evidentemente l'intersezione tra la retta data ed il piano contenente C. Si deve quindi risolvere il sistema :
$\displaystyle \begin{cases} x=0\\z=2\\x+y=1\end{cases}$
Da cui si ricava :
$\displaystyle P=^t(0,1,2) $
In coordinate proiettive (x,y,z,t) il piano polare di P rispetto alla superficie sferica è :
$\displaystyle (0,1,2,1)\cdot A\cdot ^t(x,y,z,t)=0 $
dove A è la matrice correlata alla superficie sferica contenente C. Fatti i relativi calcoli si trova che il piano polare è:
$\displaystyle y+2z=2 $
La retta intersezione di tale piano col piano contenente C è allora :
$\displaystyle \begin{cases} y+2z=2\\x+y=1\end{cases}$
I due punti d'intersezione di tale retta con la superficie sferica sono dati dal sistema :
$\displaystyle \begin{cases} y+2z=2\\x+y=1\\x^2+y^2+z^2=2\end{cases}$
Da qui si hanno i punti :
$\displaystyle A(- \frac{1}{3} ,\frac{4}{3},\frac{1}{3}) ; B(1,0,1)$
Infine la tangente t1 è la retta AP di equazioni :
$\displaystyle \begin{cases} z=5x+2\\x+y=1\end{cases}$
mentre l'altra tangente t2 è la retta BP di equazioni :
$\displaystyle \begin{cases} x+z=2\\x+y=1\end{cases}$

Vito L

2 mag 2012, 17:19

Mmmm mannaggia! Grazie vittorino70 ma il mio programma di Geo 2 non prevede la polarità nè la geometria proiettiva!

vittorino70

3 mag 2012, 08:42

Proviamo con un metodo più abbordabile. Le rette passanti per $\displaystyle P(0,1,2) $ hanno equazioni:
(a) $\displaystyle \begin{cases}x=0+lt\\y=1+mt\\z=2+nt\end{cases} $
dove t è un parametro variabile e $\displaystyle (l,m,n) $ è il vettore direzionale della generica retta per P.
Imponiamo che tali rette appartengano al piano $\displaystyle x+y=1 $ :
$\displaystyle lt+1+mt=1 $ da cui si trae che $\displaystyle m=-l $. In tal modo le (a) diventano:
(b) $\displaystyle \begin{cases}x=lt\\y=1-lt\\z=2+nt\end{cases} $
Imponiamo ora che la generica retta di (b) abbia in comune con la superficie sferica un solo punto .
A tal fine sostituiamo le (b) nell'equazione della sup.sferica che è $\displaystyle x^2+y^2+z^2=2 $ ed otteniamo :
$\displaystyle (lt)^2+(1-lt)^2+(2+nt)^2-2=0 $
Ordinando rispetto a t si ha:
$\displaystyle (2l^2+n^2)t^2-2(l-2n)t+3=0 $
Poniamo a zero il il delta di questa equazione :
$\displaystyle (l-2n)^2-3(2l^2+n^2)=0 $
Ed ordinando rispetto ad n :
$\displaystyle n^2-4ln-5l^2=0 $
D cui abbiamo : $\displaystyle n_1=-l,n_2=5l $
Sostituendo nelle (b) abbiamo le due rette tangenti ( in forma parametrica):
$\displaystyle \begin {cases} x=lt\\y=1-lt \\z=2-lt \end{cases}$

$\displaystyle \begin {cases} x=lt\\y=1-lt \\z=2+5lt \end{cases}$
Eliminando il parametro $\displaystyle lt $ ricaviamo le equazioni delle due tangenti in forma cartesiana:
$\displaystyle \begin {cases} x+y=1 \\x+z=2\end{cases}$

$\displaystyle \begin {cases} x+y=1\\z=2+5x \end{cases}$
che sono identiche a quelle trovate col primo metodo.

Vito L

7 mag 2012, 20:01

Ciao vittorino70!

Grazie mille della risposta e della pazienza soprattutto

Perdonami se rispondo solo ora ma tra ricevimenti, esercizi da svolgere e teoria da studiare non sto proprio capendoci quasi più niente e l'esame purtroppo si avvicina

Ho da chiederti una cosa, potresti spiegarmi meglio questa frase? Purtroppo non è tanto evidente per me

"Il punto P da cui partono le due tangenti è evidentemente l'intersezione tra la retta data ed il piano contenente C"? E soprattutto che significa le tangenti partono?" Poi, devono tangere C per forza entrambe nello stesso punto?

Grazie mille ancora

Vito L