Circonferenza nello spazio euclideo
Salve ragazzi, ho dei dubbi su come procedere in questo esercizio:"Nello spazio affine euclideo di dimensione 3 in cui è fissato un riferimento ortonormale, dare una rappresentazione cartesiana della circonferenza tangente in $ T(−2,2,0)$ alla retta $t : \{(2x−y + 6 = 0 ),(x−y + 4 = 0) :}$ e passante per il punto $P(−2,1,−1)$" .Essendo una circonferenza avevo pensato di imporre che la distanza tra il centro della circonferenza e i punti $T$ e $P$ fosse uguale al raggio. Tentando di arrivare a risolverlo. Però essendo in $E_3$ non so se effettivamente è giusto.
Qualche suggerimento?
Qualche suggerimento?
Risposte
Il centro della circonferenza richiesta è l'intersezione di 3 piani (lascio a te il dettaglio dei calcoli):
a) il piano contenente la retta t ed il punto P e la cui equazione è :
$x+2=0$
b) il piano passante per T e normale alla retta t e la cui equazione è:
$z=0$
c) il piano passante per il punto medio M del segmento PT e normale alla retta PT e la cui equazione è:
$y+z-1=0$
Risolvendo il facile sistema di queste 3 equazioni si ottiene il punto $C(-2,1,0)$
Pertanto il raggio della circonferenza che cerchiamo sarà CT ( o CP):
$\bar{CT}=\sqrt1=1$
e dunque le equazioni della circonferenza in oggetto sono date dal sistema:
\begin{cases}x+2=0\\(x+2)^2+(y-1)^2+z^2=1\\ \end{cases}
P.S. Rivedi i calcoli perché oggi non me ne va bene una...
a) il piano contenente la retta t ed il punto P e la cui equazione è :
$x+2=0$
b) il piano passante per T e normale alla retta t e la cui equazione è:
$z=0$
c) il piano passante per il punto medio M del segmento PT e normale alla retta PT e la cui equazione è:
$y+z-1=0$
Risolvendo il facile sistema di queste 3 equazioni si ottiene il punto $C(-2,1,0)$
Pertanto il raggio della circonferenza che cerchiamo sarà CT ( o CP):
$\bar{CT}=\sqrt1=1$
e dunque le equazioni della circonferenza in oggetto sono date dal sistema:
\begin{cases}x+2=0\\(x+2)^2+(y-1)^2+z^2=1\\ \end{cases}
P.S. Rivedi i calcoli perché oggi non me ne va bene una...
Scusami ma non credo di aver capito bene come sei arrivato a questa soluzione. Puoi spiegarmi che ragionamento hai fatto?
Per trovare il piano contenente la retta t, ho provato tramite il fascio proprio di piani e quindi mi viene:
$\alpha(2x-y+6)+\beta(x-y+4)=0$ , poi ho imposto il passaggio per T trovando il vettore generico di direzione del piano trovando $\alpha=-\beta$ ponendo $\beta=1$ trovo il piano che mi viene $-2x+y-6=0$ ; mentre il piano passante per T e domale alla retta mi viene $x+y=0$. Sbaglio qualcosa io nei calcoli?
Potresti spiegarmi meglio i ragionamento?
Grazie in anticipo
Per trovare il piano contenente la retta t, ho provato tramite il fascio proprio di piani e quindi mi viene:
$\alpha(2x-y+6)+\beta(x-y+4)=0$ , poi ho imposto il passaggio per T trovando il vettore generico di direzione del piano trovando $\alpha=-\beta$ ponendo $\beta=1$ trovo il piano che mi viene $-2x+y-6=0$ ; mentre il piano passante per T e domale alla retta mi viene $x+y=0$. Sbaglio qualcosa io nei calcoli?
Potresti spiegarmi meglio i ragionamento?
Grazie in anticipo
ho rifatto i calcoli, la retta $x+2=0$ mi viene, ma le altre no
Per scrupolo ho rifatto anch'io i calcoli e sono approdato ai medesimi risultati già da me postati in precedenza.
Il guaio è che io ho seguito una tecnica di svolgimento basato non su meri calcoli ma sull' intepretazione
del quesito inerente alla geometria solida. Ovvero su capitoli della geometria che talvolta vengono
trattati, nelle scuole secondarie, in modo a dir poco approssimativo. E non certo per colpa dei discenti...
Il guaio è che io ho seguito una tecnica di svolgimento basato non su meri calcoli ma sull' intepretazione
del quesito inerente alla geometria solida. Ovvero su capitoli della geometria che talvolta vengono
trattati, nelle scuole secondarie, in modo a dir poco approssimativo. E non certo per colpa dei discenti...
Ah va bene, ora li ricontrollo, grazie dell'aiuto
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