Circonferenza nello spazio

[francyluna91]

Ciao a tutti vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto :p

Determinare tutte le circonferenza del piano $ y=0 $ tangenti all'asse z nel punto $ P(0,0,-1) $

Allora io avevo pensato ti intersecare il piano $ y=0 $ con il piano ortogonale all'asse z passante per P e con il piano appartenente al fascio di z e passante per P. E' corretto?
In ogni caso c'è una regola generale per determinare il centro di una circonferenza/sfera sapendo una sua tangente il punto di tangenza e un altro punto o un piano? Grazie per la risposta

[cirasa]

Con un paio di giorni di ritardo ecco qualche commento:

"francyluna91":Allora io avevo pensato ti intersecare il piano $ y=0 $ con il piano ortogonale all'asse z passante per P e con il piano appartenente al fascio di z e passante per P. E' corretto?

Sì, ottieni la retta su cui deve essere il centro della tua circonferenza.
Ora devi determinarne il raggio. Idee?

"francyluna91":In ogni caso c'è una regola generale per determinare il centro di una circonferenza/sfera sapendo una sua tangente il punto di tangenza e un altro punto o un piano?

Solitamente mi fido poco delle "regole generali". Sono quelle che si dimenticano prima.
Preferisco ragionare ogni volta

[apatriarca]

Dato un qualsiasi punto $C$ su di una circonferenza di centro $O$, se $t(C)$ sia la retta tangente alla circonferenza nel punto $C$, il raggio vettore $r(C) = C - O$ è sempre perpendicolare a $t(C)$. Nel tuo caso sia il punto che la retta tangente è fissa, per cui è possibile determinare la retta al quale appartiene il centro della circonferenza. Sappiamo infatti che la retta deve passare per il punto di tangenza $P$, che deve essere perpendicolare all'asse $z$ e che deve appartenere al piano $y = 0$. La direzione della retta è allora facilmente calcolabile facendo il prodotto vettoriale tra la $k$ (la direzione dell'asse $z$) e $j$ (la normale al piano $y = 0$), cioè $i$. Il centro della circonferenza appartiene cioè alla retta $O(t) = P + ti = (t, 0, -1)$. Nota che il raggio della circonferenza con centro $O(t)$ è proprio $|t|$. A questo punto devi solo scrivere l'equazione della sfera di centro $O(t)$ e raggio $|t|$ e metterla a sistema con l'equazione del piano $y = 0$.

[francyluna91]

"cirasa":Con un paio di giorni di ritardo ecco qualche commento:
[quote="francyluna91"]Allora io avevo pensato ti intersecare il piano $ y=0 $ con il piano ortogonale all'asse z passante per P e con il piano appartenente al fascio di z e passante per P. E' corretto?

Sì, ottieni la retta su cui deve essere il centro della tua circonferenza.
Ora devi determinarne il raggio. Idee?

"francyluna91":In ogni caso c'è una regola generale per determinare il centro di una circonferenza/sfera sapendo una sua tangente il punto di tangenza e un altro punto o un piano?

Solitamente mi fido poco delle "regole generali". Sono quelle che si dimenticano prima.
Preferisco ragionare ogni volta [/quote]


per il raggio determino la distanza del centro dal punto di tangenza giusto?

[cirasa]

Certo