Cinematismo, soluzione equazione di 5°
Ciao a tutti,
recentemente mi sono trovato a dover formulare le equazioni che descrivono la cinematica diretta e inversa di un cinematismo (costituito da un biella-manovella e altre bielle fulcrate in alcuni punti). Sono partito con la cinematica diretta e nell'equazione mi ritrovo un termine in \(\displaystyle \sin(\gamma) \) e uno in \(\displaystyle \cos(\gamma) \), quindi usando la goniometria trasformo il coseno in \(\displaystyle \cos(\gamma)=+\sqrt(1-\sin^2(\gamma)) \) così da poter risolvere rispetto a \(\displaystyle \gamma \). Ovviamente ora comparendo la radice mi tocca usare uno sviluppo in serie di McLaurin della funzione \(\displaystyle +\sqrt(1-x^2) \) con \(\displaystyle x=\sin(\gamma) \).
Con opportune valutazioni mi sono fermato al 5° ordine e ottengo questo polinomio:
\begin{equation}T_5(x)=1+x^2/4 - x^3/8 + x^4 5/64 - x^5 7/128\end{equation}
Sostituendo lo sviluppo nell'equazione della cinematica diretta ottengo ovviamente un polinomio di 5° grado. Prima di pormi il problema di come risolvere un'equazione piuttosto lunga di 5° grado ho provato ad eliminare i tre termini di grado 3° 4° 5° risolvendo una più semplice equazione di 2° grado e con un pò di sorpresa le soluzioni cercate non sono reali. Ora mi sorgono spontanee due domande da ingenuo:
recentemente mi sono trovato a dover formulare le equazioni che descrivono la cinematica diretta e inversa di un cinematismo (costituito da un biella-manovella e altre bielle fulcrate in alcuni punti). Sono partito con la cinematica diretta e nell'equazione mi ritrovo un termine in \(\displaystyle \sin(\gamma) \) e uno in \(\displaystyle \cos(\gamma) \), quindi usando la goniometria trasformo il coseno in \(\displaystyle \cos(\gamma)=+\sqrt(1-\sin^2(\gamma)) \) così da poter risolvere rispetto a \(\displaystyle \gamma \). Ovviamente ora comparendo la radice mi tocca usare uno sviluppo in serie di McLaurin della funzione \(\displaystyle +\sqrt(1-x^2) \) con \(\displaystyle x=\sin(\gamma) \).
Con opportune valutazioni mi sono fermato al 5° ordine e ottengo questo polinomio:
\begin{equation}T_5(x)=1+x^2/4 - x^3/8 + x^4 5/64 - x^5 7/128\end{equation}
Sostituendo lo sviluppo nell'equazione della cinematica diretta ottengo ovviamente un polinomio di 5° grado. Prima di pormi il problema di come risolvere un'equazione piuttosto lunga di 5° grado ho provato ad eliminare i tre termini di grado 3° 4° 5° risolvendo una più semplice equazione di 2° grado e con un pò di sorpresa le soluzioni cercate non sono reali. Ora mi sorgono spontanee due domande da ingenuo:
- - Cosa rappresentano fisicamente? Immagino che mi stiano dicendo che la mia descrizione matematica (che è corretta) non è completa per descrivere il problema o mi sbaglio?
- Se aumento il grado dell'equazione considerando anche i termini che ho provato ad eliminare ho speranza di trovare almeno una soluzione reale o è matematicamente impossibile?[/list:u:7ttzt93l]
Eliminando anche il termine di 2° grado ottengo una soluzione reale ma commetto un errore di circa 15 mm nel posizionamento del cinematismo (cosa non ammissibile per me).
Anche ogni suggerimento su una soluzione alternativa è ben accetto.
Grazie e perdonate la mia ignoranza matematica.
Risposte
"lrossini":
Se aumento il grado dell'equazione considerando anche i termini che ho provato ad eliminare ho speranza di trovare almeno una soluzione reale o è matematicamente impossibile?
Se non ho capito male, si tratterebbe di un'equazione di 5* grado a coefficienti reali. Ebbene, un'equazione del genere ammette sempre almeno una soluzione reale.
"anonymous_0b37e9":
Se non ho capito male, si tratterebbe di un'equazione di 5* grado a coefficienti reali. Ebbene, un'equazione del genere ammette sempre almeno una soluzione reale.
Che poi la soluzione sia accettabile per le condizioni del problema non possiamo saperlo, ma un'equazione di grado dispari a coefficienti reali ha sempre almeno una soluzione reale.
Ti ringrazio Sergeant Elias, in effetti andando a vedere i teoremi fondamentali dell'algebra ho visto che il caso particolare di un'equazione di grado dispari a coefficienti reali ammette sempre almeno una soluzione reale. Ciò mi porta a concludere che la mia equazione la devo risolvere considerando i termini fino al 3° grado o fino al 5°. Io in effetti ho provato fino al 1°, 2° e poi sono passato al 4°. Questo mi fa anche concludere che il mio problema è da ricondurre ad un problema di raccoglimento, ovvero devo esprimere l'equazione mediante prodotto di equazioni di differente grado, così da poter isolare e trascurare le radici complesse e tenere solo quelle reali. E' corretto o ho detto delle cavolate?
"lrossini":
... ovvero devo esprimere l'equazione mediante prodotto di equazioni di differente grado ...
Per la precisione, sono le espressioni che si moltiplicano, non le le equazioni. Ad ogni modo, come @melia ha giustamente osservato, dovresti avere almeno una condizione sulla soluzione, visto che hai posto $[x=sin\gamma]$. Se pubblichi l'equazione originale potremmo darci un'occhiata.
Che poi la soluzione sia accettabile per le condizioni del problema non possiamo saperlo, ma un'equazione di grado dispari a coefficienti reali ha sempre almeno una soluzione reale.Grazie @media, in effetti è vero ma sono un'ottimista
Per la precisione, sono le espressioni che si moltiplicano, non le le equazioniHai perfettamente ragione, mi sono espresso male.
Se pubblichi l'equazione originale potremmo darci un'occhiataTra un pò provo a riportarla visto che in latex ci metto un pò a scriverla.
Grazie
Ok eccomi, allora l'equazione completa è la seguente:
\begin{equation} \left(\frac{7af}{64} \right)x^5 - \left(\frac{5af}{32} \right)x^4 + \left( \frac{af}{4} \right)x^3 + \frac{a}{2} \left( r\sin(\alpha)-f \right)x^2 + 2a \left( r\cos(\alpha)-e \right)x + e^2 + f^2 + r^2 + a^2 - l^2 + 2a\left(r\sin(\alpha)-f\right) - 2r\left(f\sin(\alpha)+e\cos(\alpha)\right) = 0\end{equation}
Vi riporto anche i valori dei parametri tenendo presente che per \(\displaystyle \alpha=0 \) in radianti, il risultato risolvendo l'equazione di 1° grado (eliminando i termini di grado maggiore), fornisce un risultato di circa \(\displaystyle -0,4459 \) che ha senso.
\(\displaystyle a=202,5 \)
\(\displaystyle b=443 \)
\(\displaystyle c=350 \)
\(\displaystyle e=377,5 \)
\(\displaystyle f=186 \)
\(\displaystyle r=80 \)
\(\displaystyle l=377,5 \)
\(\displaystyle \alpha=0 \)
Credo che mi basterebbe risolvere il terzo grado e non di più. Ho provato con Cardano-Tartaglia ma mi da un risultato che non mi torna così come qualche risolutore automatico trovato in giro per la rete.
\begin{equation} \left(\frac{7af}{64} \right)x^5 - \left(\frac{5af}{32} \right)x^4 + \left( \frac{af}{4} \right)x^3 + \frac{a}{2} \left( r\sin(\alpha)-f \right)x^2 + 2a \left( r\cos(\alpha)-e \right)x + e^2 + f^2 + r^2 + a^2 - l^2 + 2a\left(r\sin(\alpha)-f\right) - 2r\left(f\sin(\alpha)+e\cos(\alpha)\right) = 0\end{equation}
Vi riporto anche i valori dei parametri tenendo presente che per \(\displaystyle \alpha=0 \) in radianti, il risultato risolvendo l'equazione di 1° grado (eliminando i termini di grado maggiore), fornisce un risultato di circa \(\displaystyle -0,4459 \) che ha senso.
\(\displaystyle a=202,5 \)
\(\displaystyle b=443 \)
\(\displaystyle c=350 \)
\(\displaystyle e=377,5 \)
\(\displaystyle f=186 \)
\(\displaystyle r=80 \)
\(\displaystyle l=377,5 \)
\(\displaystyle \alpha=0 \)
Credo che mi basterebbe risolvere il terzo grado e non di più. Ho provato con Cardano-Tartaglia ma mi da un risultato che non mi torna così come qualche risolutore automatico trovato in giro per la rete.
Ciao a tutti, riguardando i conti ho verificato che l'equazione che ho postato è corretta ma la soluzione che ottengo risolvendo la "versione" di 1° grado mi fornisce un risultato diverso da quello atteso e che avevo indicato. Mi spiego meglio, per \(\displaystyle \alpha = 0 \) ottengo \(\displaystyle x \approx -0,445 \) quando invece dovrebbe essere \(\displaystyle x \approx -0,406 \). Invece per \(\displaystyle \alpha = -3,116218708 \) che è circa -178° in radianti ottengo \(\displaystyle x \approx 0,361 \) quando dovrebbe essere \(\displaystyle x \approx 0,394\).
Per farla molto breve commetto un errore in radianti di circa \(\displaystyle 0,04 \) sicuramente dovuto al fatto che ho risolto l'equazione di 1° grado eliminando i contributi di ordine superiore e quindi in un posizionamento in mm diventa un errore rilevante per la mia applicazione. La domanda che mi/vi pongo è quale grado mi conviene provare a risolvere sapendo che una di grado pari mi può dare origine a soluzioni solo complesse? Intuitivamente un 3° o un 5°, ma come scegliere? Ovviamente quella di 3° grado avrebbe una soluzione generale cosa che il 5° non ha. Con il 5° grado dovrei trovare una scomposizione inpiù espressioni come già indicato sopra ma devo dire che non è facile, almeno per me.
O magari ho semplicemente sviluppato male con Taylor?
Per farla molto breve commetto un errore in radianti di circa \(\displaystyle 0,04 \) sicuramente dovuto al fatto che ho risolto l'equazione di 1° grado eliminando i contributi di ordine superiore e quindi in un posizionamento in mm diventa un errore rilevante per la mia applicazione. La domanda che mi/vi pongo è quale grado mi conviene provare a risolvere sapendo che una di grado pari mi può dare origine a soluzioni solo complesse? Intuitivamente un 3° o un 5°, ma come scegliere? Ovviamente quella di 3° grado avrebbe una soluzione generale cosa che il 5° non ha. Con il 5° grado dovrei trovare una scomposizione inpiù espressioni come già indicato sopra ma devo dire che non è facile, almeno per me.
O magari ho semplicemente sviluppato male con Taylor?
Non ho ancora capito per quale motivo non risolvi l'equazione di 5° grado con un qualche metodo numerico. In questo modo troveresti la soluzione dell'equazione originale con la precisione voluta.
Eureka!! Avevo sbagliato completamente lo sviluppo in serie di Taylor della funzione originale che invece è:
\begin{equation}T_5(x)=1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{12} - \frac{x^4}{12} + \frac{x^5}{80}\end{equation}
Ora risolvendo al 3° grado ottengo una soluzione reale praticamente perfetta!!
Sarò obbligato a farlo ma con l'equazione della cinematica inversa, in quanto se approssimo risolvendo al 3° grado mi perdo qualche decimale importante per la strada e il risultato finale è terribile, tutto perchè nel problema così posto quando approssimo con la serie di Taylor che ho postato commetto un errore che varia da 0 a 0,32 cosa che nella diretta non accadeva. Temo di non avere altra strada e probabilmente non basterà neanche il 5° grado.
@anonymous_0b37e9 sapresti indicarmi qualche approccio numerico magari da implementare in excel?
Avevo sbagliato completamente lo sviluppo in serie di Taylor della funzione originale che invece è:\begin{equation}T_5(x)=1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{12} - \frac{x^4}{12} + \frac{x^5}{80}\end{equation}
Ora risolvendo al 3° grado ottengo una soluzione reale praticamente perfetta!!
Non ho ancora capito per quale motivo non risolvi l'equazione di 5° grado con un qualche metodo numerico. In questo modo troveresti la soluzione dell'equazione originale con la precisione voluta.
Sarò obbligato a farlo ma con l'equazione della cinematica inversa, in quanto se approssimo risolvendo al 3° grado mi perdo qualche decimale importante per la strada e il risultato finale è terribile, tutto perchè nel problema così posto quando approssimo con la serie di Taylor che ho postato commetto un errore che varia da 0 a 0,32 cosa che nella diretta non accadeva. Temo di non avere altra strada e probabilmente non basterà neanche il 5° grado.
@anonymous_0b37e9 sapresti indicarmi qualche approccio numerico magari da implementare in excel?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo