Cilindro meno un punto
Ciao a tutti!
Rivedendo alcune cose di topologia (in particolare sulla parte di omotopia e calcolo di gruppi fondamentali), mi è sorto un dubbio atroce, che non sono certo di essere riuscito a risolvere completamente:
Se in $\mathbb(R)^3$ considero il cilindro unitario infinito $C=\{x^2+y^2=1\}$ e vi tolgo un punto a caso, a cosa è omotopo il risultato?
Io ho ragionato nel seguente modo, ma non so se sia o meno corretto:
Il cilindro è omeomorfo a $\mathbb(R)^2-\{(0,0)\}$, allora se tolgo un altro punto $p$ al piano ottengo: $\mathbb(R)^2-\{(0,0),p\}$ che si retrae per deformazione su due $S^1$ tangenti in un punto.
Da questo si deduce anche che il gruppo fondamentale del cilindro meno un punto è $\mathbb(Z)$*$\mathbb(Z)$.
Volevo poi chiedere: mi confermate che invece il cilindro meno una retta (sulla superficie laterale) è omotopo ad un piano (brutalmente perché togliendo una retta "srotolo" il cilindro)?
Rivedendo alcune cose di topologia (in particolare sulla parte di omotopia e calcolo di gruppi fondamentali), mi è sorto un dubbio atroce, che non sono certo di essere riuscito a risolvere completamente:
Se in $\mathbb(R)^3$ considero il cilindro unitario infinito $C=\{x^2+y^2=1\}$ e vi tolgo un punto a caso, a cosa è omotopo il risultato?
Io ho ragionato nel seguente modo, ma non so se sia o meno corretto:
Il cilindro è omeomorfo a $\mathbb(R)^2-\{(0,0)\}$, allora se tolgo un altro punto $p$ al piano ottengo: $\mathbb(R)^2-\{(0,0),p\}$ che si retrae per deformazione su due $S^1$ tangenti in un punto.
Da questo si deduce anche che il gruppo fondamentale del cilindro meno un punto è $\mathbb(Z)$*$\mathbb(Z)$.
Volevo poi chiedere: mi confermate che invece il cilindro meno una retta (sulla superficie laterale) è omotopo ad un piano (brutalmente perché togliendo una retta "srotolo" il cilindro)?
Risposte
"Lebesgue":Corretto.
Il cilindro è omeomorfo a $\mathbb(R)^2-\{(0,0)\}$, allora se tolgo un altro punto $p$ al piano ottengo: $\mathbb(R)^2-\{(0,0),p\}$ che si retrae per deformazione su due $S^1$ tangenti in un punto.
Da questo si deduce anche che il gruppo fondamentale del cilindro meno un punto è $\mathbb(Z)$*$\mathbb(Z)$.Corretto.
Mi confermate che invece il cilindro meno una retta (sulla superficie laterale) è omotopo ad un piano (brutalmente perché togliendo una retta "srotolo" il cilindro)?Corretto. Puoi persino trovare l'omeomorfismo esplicito.
"megas_archon":
Mi confermate che invece il cilindro meno una retta (sulla superficie laterale) è omotopo ad un piano (brutalmente perché togliendo una retta "srotolo" il cilindro)?Corretto. Puoi persino trovare l'omeomorfismo esplicito.
Quindi il cilindro meno una retta è addirittura omeomorfo al piano, non solo omotopicamente equivalente?
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