Cilindro Iperbolico o Ellittico?
Ragazzi Volevo chiedervi Se ci sono delle condizioni pratiche insomma per determinare se un Cilindro e' Iperbolico o Ellittico
Ho Il Seguente Esercizio:
Studiare La Seguente Quadrica:
[tex]-y^2 +z^2+2xy+2xz+4x+2y+6z=0[/tex]
Ho Calcolato La Matrice Associata Alla Quadrica:
[tex]\begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/tex]
Ne Ho Calcolato Il Rango Ed Ho Ottenuto Che E' Una Quadrica Degenere Di Rango 3
Dopodiche' Ho Calcolato L'unico Punto Doppio (Singolare) Ed Ho Determinato che tale punto e' : [tex]V_\infty (0,1,1,-1)[/tex]
Dunque Si Tratta Di Un Cilindro
A Questo Punto Devo Determinare se E' Un Cilindro Iperbolico, Parabolico o Ellittico
La Prima Condizione Che Ho Verificato e' Il Rango Del Minore [tex]A_{00}[/tex]
Cioe'
[tex]\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/tex]
Il Rango e' 2 Quindi La Scelta Ricade O sul cilindro Iperbolico o su Quello Ellittico
Come Faccio Adesso a Distinguere?
Ringrazio In Anticipo
Ho Il Seguente Esercizio:
Studiare La Seguente Quadrica:
[tex]-y^2 +z^2+2xy+2xz+4x+2y+6z=0[/tex]
Ho Calcolato La Matrice Associata Alla Quadrica:
[tex]\begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/tex]
Ne Ho Calcolato Il Rango Ed Ho Ottenuto Che E' Una Quadrica Degenere Di Rango 3
Dopodiche' Ho Calcolato L'unico Punto Doppio (Singolare) Ed Ho Determinato che tale punto e' : [tex]V_\infty (0,1,1,-1)[/tex]
Dunque Si Tratta Di Un Cilindro
A Questo Punto Devo Determinare se E' Un Cilindro Iperbolico, Parabolico o Ellittico
La Prima Condizione Che Ho Verificato e' Il Rango Del Minore [tex]A_{00}[/tex]
Cioe'
[tex]\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/tex]
Il Rango e' 2 Quindi La Scelta Ricade O sul cilindro Iperbolico o su Quello Ellittico
Come Faccio Adesso a Distinguere?
Ringrazio In Anticipo
Risposte
Considera la conica assoluto $C_infty$ se questa è doppiamente degenere allora è un cilindro parabolico, se è semplicemente degenere in due rette reali è iperbolico. Se è semplicemente degenere in due rette complesse coniugate si tratta di un cilindro ellittico.
Quindi Nella Pratica Considero L'intersezione Della Mia Quadrica Con il Piano Improprio [tex]x_0=0[/tex]
in modo da ottenere [tex]C_\infty[/tex]
Dopodiche' Se il Rango e' 1 Posso concludere dicendo che si tratta di un Cilindro Parabolico
Se il rango e' 2 invece, c'e' qualche condizione che mi consente di determinare se [tex]C_\infty[/tex] e' semplicemente degenere in due rette reali o in due rette complesse?
Nel Mio Caso Mi Ritrovo
[tex]\begin{displaymath}
\begin{cases}
x_0 = 0 \\ -{x_2}^2 + {x_3}^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 = 0
\end{cases}
\end{displaymath}[/tex]
in modo da ottenere [tex]C_\infty[/tex]
Dopodiche' Se il Rango e' 1 Posso concludere dicendo che si tratta di un Cilindro Parabolico
Se il rango e' 2 invece, c'e' qualche condizione che mi consente di determinare se [tex]C_\infty[/tex] e' semplicemente degenere in due rette reali o in due rette complesse?
Nel Mio Caso Mi Ritrovo
[tex]\begin{displaymath}
\begin{cases}
x_0 = 0 \\ -{x_2}^2 + {x_3}^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 = 0
\end{cases}
\end{displaymath}[/tex]
Considerala una equazione nella incognita $x_3$ o $x_1$ se preferisci, e studia il delta dell'equazione.
Seguendo il tuo consiglio e Scegliendo [tex]x_3[/tex] quale incognita' ho che il Delta/4 e' :
[tex]\Delta/4[/tex] = [tex](x_1 - x_2)^2[/tex]
E' sempre maggiore o uguale (nel caso [tex]x_1 = x_2[/tex]) di zero
pertanto son due rette reali?
E' giusto?
[tex]\Delta/4[/tex] = [tex](x_1 - x_2)^2[/tex]
E' sempre maggiore o uguale (nel caso [tex]x_1 = x_2[/tex]) di zero
pertanto son due rette reali?
E' giusto?
Se i calcoli sono giusti sì è giusto.
Dunque Dovrebbe essere Un Cilindro Iperbolico 
In Questo Caso Invece:
[tex]x^2+y^2+2=0[/tex]
La Matrice associata e':
[tex]\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Ha Rango 3
Il Punto Doppio e' : [tex]V_\infty(0,0,0,1)[/tex]
[tex]C_\infty[/tex] e' data da:
[tex]{x_1}^2 + {x_2}^2 =0[/tex]
Il Cui Delta e' negativo
Quindi E' un Cilindro Ellittico
Come Faccio a Dire Se E' un Cilindro Ellittico Reale O Immaginario?
In Questo Caso Invece:
[tex]x^2+y^2+2=0[/tex]
La Matrice associata e':
[tex]\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Ha Rango 3
Il Punto Doppio e' : [tex]V_\infty(0,0,0,1)[/tex]
[tex]C_\infty[/tex] e' data da:
[tex]{x_1}^2 + {x_2}^2 =0[/tex]
Il Cui Delta e' negativo
Quindi E' un Cilindro Ellittico
Come Faccio a Dire Se E' un Cilindro Ellittico Reale O Immaginario?
Se possiede punti reali o no!
Quindi Da Un Punto Di Vista Pratico
A Questo Punto Dovrei Trovare Il Delta Dell'equazione Di Partenza, scegliendo x o y come incognita?
[tex]x^2 +y^2 +2?[/tex]
O C'e' un'altra strada?
A Questo Punto Dovrei Trovare Il Delta Dell'equazione Di Partenza, scegliendo x o y come incognita?
[tex]x^2 +y^2 +2?[/tex]
O C'e' un'altra strada?
Bah guarda un po' di intuito e spirito di osservazione aiuta sempre. In questo caso stai sommando quantità sempre positive, potrai mai avere $0$ come risultato? 
Ovviamente No
Quindi E' Cilindro Ellittico Immaginario
Ti Ringrazio Per Aver Sciolto questi miei dubbi e per il tempo dedicatomi
Quindi E' Cilindro Ellittico Immaginario
Ti Ringrazio Per Aver Sciolto questi miei dubbi e per il tempo dedicatomi
Figurati! Buono studio
mmm condizioni sugli autovalori
Mi sembrano utilissimi
Grazie Mille
Con B Quale A Quale Matrice fa riferimento?
Mi sembrano utilissimi
Grazie Mille
Con B Quale A Quale Matrice fa riferimento?
C'è scritto tutto!
segnalo anche un ulteriore modo di classificazione delle quadriche, cioe attraverso l'uso degli invarianti (questo metodo pero non permettere di distinguere tra cilindro ellittico reale o immaginario).
data una quadrica $\Omega$ di equazione:
$\Omega : a_11X^2+2a_12XY+a_22Y^2+2a_13XZ+2a_23YZ+a_33Z^2+2a_14X+2a_24Y+2a_34Z+a_44=0$
si costruisce la seguente matrice simmetrica associata A e la sottomatrice Q (relativa alla parte quadratica dell'equazione):
$A=[[a_11,a_12,a_13,a_14],[a_12,a_22,a_23,a_24],[a_13,a_23,a_33,a_34],[a_14,a_24,a_34,a_44]]$ e $Q=[[a_11,a_12,a_13],[a_12,a_22,a_23],[a_13,a_23,a_33]]$
a partire da $A$ e $Q$ si ricavano i 4 invarianti:
$I_4=|A|$
$I_3=|Q|$
$I_2=|(a_11,a_12),(a_12,a_22)|+|(a_22,a_23),(a_23,a_33)|+|(a_11,a_13),(a_13,a_33)|$ (sono i minori della diagonale principale)
$I_1=trace(Q)=a_11+a_22+a_33$
se $I_4!=0$ si hanno le quadriche non degeneri, in particolare:
se $\{(I_3!=0),(I_4>0):}$ allora ho un ellissoide immaginario se $\{(I_2>0),(I_1I_3>0):}$, altrimenti ho un iperboloide a una falda
se $\{(I_3!=0),(I_4<0):}$ allora ho un ellissoide reale se $\{(I_2>0),(I_1I_3>0):}$, altrimenti ho un iperboloide a 2 falde
se $I_3=0$ allora ho un paraboloide; è iperbolico se $I_4>0$, altrimenti è ellittico;
se $I_4=0$ si hanno le quadriche degeneri, in particolare:
se $I_3!=0$ allora ho un cono; se $\{(I_2>0),(I_1I_3>0):}$ è immaginario, altrimenti è reale
se $I_3=0$ allora ho un cilindro;se $I_2>0$ è ellittico (immaginario o reale), se $I_2<0$ è iperbolico, se $I_2=0$ è parabolico
NB: la condizione $I_3!=0$ identifica le quadriche con centro di simmetria $C(X_c,Y_c,Z_c)$.
Tale centro puo essere trovato cosi facendo: $[[X_c],[Y_c],[Z_c]]=Q^(-1) [[-a_14],[-a_24],[-a_34]]$
tralascio la trattazione sui piani doppi.
data una quadrica $\Omega$ di equazione:
$\Omega : a_11X^2+2a_12XY+a_22Y^2+2a_13XZ+2a_23YZ+a_33Z^2+2a_14X+2a_24Y+2a_34Z+a_44=0$
si costruisce la seguente matrice simmetrica associata A e la sottomatrice Q (relativa alla parte quadratica dell'equazione):
$A=[[a_11,a_12,a_13,a_14],[a_12,a_22,a_23,a_24],[a_13,a_23,a_33,a_34],[a_14,a_24,a_34,a_44]]$ e $Q=[[a_11,a_12,a_13],[a_12,a_22,a_23],[a_13,a_23,a_33]]$
a partire da $A$ e $Q$ si ricavano i 4 invarianti:
$I_4=|A|$
$I_3=|Q|$
$I_2=|(a_11,a_12),(a_12,a_22)|+|(a_22,a_23),(a_23,a_33)|+|(a_11,a_13),(a_13,a_33)|$ (sono i minori della diagonale principale)
$I_1=trace(Q)=a_11+a_22+a_33$
se $I_4!=0$ si hanno le quadriche non degeneri, in particolare:
se $\{(I_3!=0),(I_4>0):}$ allora ho un ellissoide immaginario se $\{(I_2>0),(I_1I_3>0):}$, altrimenti ho un iperboloide a una falda
se $\{(I_3!=0),(I_4<0):}$ allora ho un ellissoide reale se $\{(I_2>0),(I_1I_3>0):}$, altrimenti ho un iperboloide a 2 falde
se $I_3=0$ allora ho un paraboloide; è iperbolico se $I_4>0$, altrimenti è ellittico;
se $I_4=0$ si hanno le quadriche degeneri, in particolare:
se $I_3!=0$ allora ho un cono; se $\{(I_2>0),(I_1I_3>0):}$ è immaginario, altrimenti è reale
se $I_3=0$ allora ho un cilindro;se $I_2>0$ è ellittico (immaginario o reale), se $I_2<0$ è iperbolico, se $I_2=0$ è parabolico
NB: la condizione $I_3!=0$ identifica le quadriche con centro di simmetria $C(X_c,Y_c,Z_c)$.
Tale centro puo essere trovato cosi facendo: $[[X_c],[Y_c],[Z_c]]=Q^(-1) [[-a_14],[-a_24],[-a_34]]$
tralascio la trattazione sui piani doppi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo