Chiusura sottospazi vettoriali infinito dimensionali
Per quale motivo ogni spazo finito dimensionale e' chiuso, mentre a dimensione infinita non e' piu' cosi'? La chiave sta nel fatto che a dimensione infinita non e' piu' vero che l'unione di chiusi e' ancora chiuso? Qual'e' un esempio di sottospazio vettoriale infinito dimensionale non chiuso? Grazie
Risposte
Un motivo è certamente che spesso un sottospazio di uno spazio di dimensione infinita è intersezione di infiniti chiusi, quindi nulla lo obbliga a essere chiuso. E in effetti esistono un sacco di controesempi (i polinomi nello spazio delle funzioni continue, ad esempio).
Mi sembra che un motivo un po' più generale per cui è vero è la maniera in cui è definita la topologia sul duale di uno spazio.
Mi sembra che un motivo un po' più generale per cui è vero è la maniera in cui è definita la topologia sul duale di uno spazio.
capito, grazie mille!
Essenzialmente perchè uno spazio finito dimensionale è localmente compatto, quindi chiuso.
Un esempio può essere il nucleo di un funzionale lineare non continuo, tipo la derivata valutata in $0$ nello spazio $C^1(RR)\subseteqC(RR)$ con la topologia indotta da quella uniforme. Un altro tipo è un qualsiasi spazio di dimensione infinito numerabile.
Un esempio può essere il nucleo di un funzionale lineare non continuo, tipo la derivata valutata in $0$ nello spazio $C^1(RR)\subseteqC(RR)$ con la topologia indotta da quella uniforme. Un altro tipo è un qualsiasi spazio di dimensione infinito numerabile.
"megas_archon":
Un motivo è certamente che spesso un sottospazio di uno spazio di dimensione infinita è intersezione di infiniti chiusi, quindi nulla lo obbliga a essere chiuso. E in effetti esistono un sacco di controesempi (i polinomi nello spazio delle funzioni continue, ad esempio).
??? volevi dire unione immagino.
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