Chiusura insiemi
buonasera a tutti 
vorrei un aiuto per una dimostrazione.
Come faccio a dimostrare che la chiusura di A unito B è uguale alla chiusura di A unita alla chiusura di B ? Ringrazio anticipatamente...
vorrei un aiuto per una dimostrazione.
Come faccio a dimostrare che la chiusura di A unito B è uguale alla chiusura di A unita alla chiusura di B ? Ringrazio anticipatamente...
Risposte
Prova con la doppia inclusione.
Tu vuoi provare $\bar(A uu B) = \bar A uu \bar B$
Considera che ogni insieme è contenuto nella propria chiusura, quindi $A uu B \subset \barA uu \bar B$ da cui, ricordandoti che la chiusura di un chiuso è l'insieme stesso hai la prima inclusione.
Prova tu con l'altra (e controlla la mia!)
Tu vuoi provare $\bar(A uu B) = \bar A uu \bar B$
Considera che ogni insieme è contenuto nella propria chiusura, quindi $A uu B \subset \barA uu \bar B$ da cui, ricordandoti che la chiusura di un chiuso è l'insieme stesso hai la prima inclusione.
Prova tu con l'altra
(e controlla la mia!)
Ho contollato la tua... ok 
per l'altra inclusione :
A U B $sub$ $\bar (AUB)$ perchè ogni insieme è contenuto nella propria chiusura, giusto? e poi..?
per l'altra inclusione :
A U B $sub$ $\bar (AUB)$ perchè ogni insieme è contenuto nella propria chiusura, giusto? e poi..?
Beh hai che $\barA subset \bar(AuuB)$ e lo stesso vale per $\barB$, da cui anche l'unione $\bar A uu \bar B$ sarà contenuta in $\bar (A uu B)$
Grazie mille!
effettivamente non era complesso come ragionamento
effettivamente non era complesso come ragionamento
per quanto riguarda questa dimostrazione invece
sia A sotooinsieme denso in spazio topologico X (questo già mi dice che $\bar A$ = X o equivalentemente che A interseca ogni aperto non vuoto di X )
dimostarre che per ogni aperto U contenuto in X vale U $sub$ $\bar {U nn A }$ ( quindi A interseca U per def di denso e U aperto.)
potresti controllare se il mio raginamento è giusto?
essendo U cotenuto in X ed essendo la chiusura di A uguale ad X ho che U è contunuto in $\bar A$ e quindi U $nn$ $\bar A$ = U
essendo inoltre A $sub$ $\bar A$ ho che U $sub$ A $nn$ U $sub$ $\bar (A nn U )
ho sbagliato???
sia A sotooinsieme denso in spazio topologico X (questo già mi dice che $\bar A$ = X o equivalentemente che A interseca ogni aperto non vuoto di X )
dimostarre che per ogni aperto U contenuto in X vale U $sub$ $\bar {U nn A }$ ( quindi A interseca U per def di denso e U aperto.)
potresti controllare se il mio raginamento è giusto?
essendo U cotenuto in X ed essendo la chiusura di A uguale ad X ho che U è contunuto in $\bar A$ e quindi U $nn$ $\bar A$ = U
essendo inoltre A $sub$ $\bar A$ ho che U $sub$ A $nn$ U $sub$ $\bar (A nn U )
ho sbagliato???
$A\subset\overline{A}$ non implica $U\subset A$.
Paola
Paola
come dovrei ragionare allora ?
Forse (è solo un'idea) puoi pensare alla chiusura come l'insieme dei punti aderenti.
oppure prova a sfruttare il fatto che se $A$ è denso in $X$,allora $A$ è denso anche in $U$ e quindi anche $AnnU$ è denso in $U$(ovviamente questi passaggi li devi dimostrare,non è difficile).
a questo punto basta applicare una delle definizioni di insieme denso ad $AnnU$ in $U$; infine ti basterà fare una piccola considerazione sulle topologie indotte per accorgerti di aver ottenuto la tesi(o rischierai di convincerti di una cosa non vera,cioè che $ U =$$\bar {U nn A }$)
a questo punto basta applicare una delle definizioni di insieme denso ad $AnnU$ in $U$; infine ti basterà fare una piccola considerazione sulle topologie indotte per accorgerti di aver ottenuto la tesi(o rischierai di convincerti di una cosa non vera,cioè che $ U =$$\bar {U nn A }$)
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