Chiusura di un connesso
Ciao!
Ho sottomano questo esercizio, volevo sapere se fosse corretto(più che altro c’è un passaggio delicato)
sia $(X,tau)$ spazio topologico e $A$ un sottospazio di $X$ non vuoto. Se $A$ è connesso allora $overline(A)$ è connesso
La mostro per contronominale.
supponiamo che $overline(A)$ sia sconnesso nella topologia indotta da $X$ allora esistono due chiusi $C,B$ di $overline(A)$ che lo sconnettono. Tali chiusi sono anche chiusi di $X$ poiché $overline(A)$ è chiuso in $X$, quindi $AcapC$ e $AcapB$ sono chiusi in $A$ nella topologia indotta da $X$
$(AcapC)cap(AcapB)=Acap(CcapB)=emptyset$
$(AcapC)cup(AcapB)=Acap(BcupC)=Acapoverline(A)=A$
ora essendo $A$ denso nella sua chiusura(rispetto alla topologia indotta dalla chiusura), interseca ogni aperto di $overline(A)$.
Poiché $emptysetneAcapC^ºsubsetAcapC$ dove l’interno di $C$ è quello in $overline(A)$ si ha che $AcapC$ è non vuoto.
La stessa considerazione fatta per $AcapB$ ci porta alla ‘disconnessione’ di $A$ nella topologia indotta da $X$
Che ne pensate?
Ho sottomano questo esercizio, volevo sapere se fosse corretto(più che altro c’è un passaggio delicato)
sia $(X,tau)$ spazio topologico e $A$ un sottospazio di $X$ non vuoto. Se $A$ è connesso allora $overline(A)$ è connesso
La mostro per contronominale.
supponiamo che $overline(A)$ sia sconnesso nella topologia indotta da $X$ allora esistono due chiusi $C,B$ di $overline(A)$ che lo sconnettono. Tali chiusi sono anche chiusi di $X$ poiché $overline(A)$ è chiuso in $X$, quindi $AcapC$ e $AcapB$ sono chiusi in $A$ nella topologia indotta da $X$
$(AcapC)cap(AcapB)=Acap(CcapB)=emptyset$
$(AcapC)cup(AcapB)=Acap(BcupC)=Acapoverline(A)=A$
ora essendo $A$ denso nella sua chiusura(rispetto alla topologia indotta dalla chiusura), interseca ogni aperto di $overline(A)$.
Poiché $emptysetneAcapC^ºsubsetAcapC$ dove l’interno di $C$ è quello in $overline(A)$ si ha che $AcapC$ è non vuoto.
La stessa considerazione fatta per $AcapB$ ci porta alla ‘disconnessione’ di $A$ nella topologia indotta da $X$
Che ne pensate?
Risposte
Si va bene, ora prova a dimostrare la stessa cosa per un insieme $A\subseteqB\subseteq\bar{A}$ (molto spesso è utile).
Ciao otta 
Onestamente stavo provando a farlo(sto iniziando le componenti connesse), ma non mi viene nulla.
Prendo $YsubseteqWsubseteqoverline(Y)$
Ho pensato che se fosse $YcapA=emptyset$ per qualche $A$ aperto in $W$ si avrebbe che $YsubseteqA^csubseteqWsubseteqoverline(Y)$ con $A^c$ chiuso in $W$, ma non penso che sia la strada migliore
Onestamente stavo provando a farlo(sto iniziando le componenti connesse), ma non mi viene nulla.
Prendo $YsubseteqWsubseteqoverline(Y)$
Ho pensato che se fosse $YcapA=emptyset$ per qualche $A$ aperto in $W$ si avrebbe che $YsubseteqA^csubseteqWsubseteqoverline(Y)$ con $A^c$ chiuso in $W$, ma non penso che sia la strada migliore
"anto_zoolander":
Ciao otta
Onestamente stavo provando a farlo(sto iniziando le componenti connesse), ma non mi viene nulla.
Prendo $YsubseteqWsubseteqoverline(Y)$
Ho pensato che se fosse $YcapA=emptyset$ per qualche $A$ aperto in $W$ si avrebbe che $YsubseteqA^csubseteqWsubseteqoverline(Y)$ con $A^c$ chiuso in $W$, ma non penso che sia la strada migliore
Se $A != \emptyset$ è aperto in $W$ allora $Y \cap A$ è sempre diverso dal vuoto. Perché?
Hint per dimostrare l'ex di otta: considera un sottoinsieme non vuoto chiuso e aperto(clopen) in $W$.
Penso mi sia venuta l’illuminazione.
Siano $(X,tau)$ spazio topologico e $A,B$ non vuoti tali che $AsubseteqBsubseteqoverline(A)_X$ allora si ha $overline(A)_B=Bcapoverline(A)_X=B$ ovvero $A$ è denso in $B$ rispetto alla topologia indotta da $B$ su $A$
@shocker
Intanto ciao
Questo ‘esercizio’ mi serviva proprio per arrivare al fatto che se $AsubseteqBsubseteqoverline(A)$ e $A$ è connesso, allora $B$ è connesso.
Siano $(X,tau)$ spazio topologico e $A,B$ non vuoti tali che $AsubseteqBsubseteqoverline(A)_X$ allora si ha $overline(A)_B=Bcapoverline(A)_X=B$ ovvero $A$ è denso in $B$ rispetto alla topologia indotta da $B$ su $A$
@shocker
Intanto ciao
Questo ‘esercizio’ mi serviva proprio per arrivare al fatto che se $AsubseteqBsubseteqoverline(A)$ e $A$ è connesso, allora $B$ è connesso.
"anto_zoolander":
Questo ‘esercizio’ mi serviva proprio per arrivare al fatto che se $ AsubseteqBsubseteqoverline(A) $ e $ A $ è connesso, allora $ B $ è connesso.
aggiungo quì una cosa legata a questo fatto. Non mi è chiara la dimostrazione, che riporto di seguito
sia $(X,tau)$ spazio topologico e $Y$ un sottospazio connesso di $X$. Se $YsubseteqWsubseteqoverline(Y)$ allora $W$ è connesso.
Per ipotesi $Y$ è denso in $W$. Sia ora $Z$ clopen in $W$ non vuoto, allora $YcapZ$ è clopen in $Y$ rispetto alla topologia indotta da $W$ su $Y$. Essendo $Y$ connesso avremo che $YcapZ=emptyset$ oppure $YsubseteqZ$. Per densità di $Y$ in $W$ si ha che $YcapZne emptyset$ quindi $YsubseteqZ$ e $W=overline(Y)_Wsubseteqoverline(Z)_W=ZsubseteqW => Z=W$
Non mi è chiara la parte in rosso: Ok $Y$ è connesso, ma è connesso rispetto alla topologia di sottospazio indotta da $X$, lo è anche rispetto alla topologia indotta da $W$?
Non è che mi manca un elemento di teoria? Ovvero se $Y,W$ sono sottoinsiemi non vuoti di uno spazio topologico $X$ tali che $YsubsetW$ allora la topologia indotta dal sottospazio $W$ coincide con la topologia indotta da $X$.
Mi sembra vero.
"anto_zoolander":
se $Y,W$ sono sottoinsiemi non vuoti di uno spazio topologico $X$ tali che $YsubsetW$ allora la topologia indotta dal sottospazio $W$ coincide con la topologia indotta da $X$.
Questo è vero.
Dimostralo.
sostanzialmente $tau_(Y,W)={YcapB : B in tau_W}$ e $tau_(Y,X)={YcapA: A in tau}$
$S in tau_(Y,W) => exists B in tau_W: S=YcapB => exists A in tau: S=Ycap(WcapA)=YcapA => S in tau_(Y,X)$
allo stesso modo
$S in tau_(Y,X) => exists A in tau: S=YcapA=(YcapW)capA=Ycap(WcapA)$
essendo $WcapA$ aperto in $W$ allora $Ycap(WcapA)$ è aperto in $Y$(topologia indotta da $W$ quindi $S in tau_(Y,W)$
Allora è tutto chiaro in quanto se è connesso in $X$ è connesso in ogni sottospazio che lo contiene.
$S in tau_(Y,W) => exists B in tau_W: S=YcapB => exists A in tau: S=Ycap(WcapA)=YcapA => S in tau_(Y,X)$
allo stesso modo
$S in tau_(Y,X) => exists A in tau: S=YcapA=(YcapW)capA=Ycap(WcapA)$
essendo $WcapA$ aperto in $W$ allora $Ycap(WcapA)$ è aperto in $Y$(topologia indotta da $W$ quindi $S in tau_(Y,W)$
Allora è tutto chiaro in quanto se è connesso in $X$ è connesso in ogni sottospazio che lo contiene.
Esatto.
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