Chiusura dell insieme Z in R con topologia data
Buongiorno,
mi sto preparando all'esame di Geometria Due e mi è venuto un dubbio nella risoluzione di un esercizio.
Il testo dell'esercizio mi dice che ho l'insieme X che corrisponde all'insieme dei numeri reali $ \R $ e ho la famiglia di sottoinsieme di $ \R $ dati da
$ \{\R\}\bigcup\{A\subseteq \R | \sqrt{2} \notin A \}$ .
So che è una topologia e mi viene richiesto di determinare la chiusura di $\Z$ in $\R$ con la topologia data.
Per definizione io so che la chiusura di un generico insieme A è l'intersezione di tutti i chiusi contenenti A.
Io ho ragionato trovando i chiusi: secondo la topologia data, i chiusi sono insiemi di $\R$ che contengono anche l'elemento $sqrt{2}$ (è vero?), perciò la chiusura dell'insieme $\Z$ deve essere l'intersezione di insiemi di $\R$ che contengono $sqrt{2}$ e contengono anche tutti i numeri interi, positivi e negativi. Io quindi sono arrivata alla conclusione che la chiusura dell'insieme $\Z$ in $\R$ con la topologia data è l'unione:
$\{\Z\}\bigcup\{sqrt{2}\}$.
Qualcuno mi può dire se ho ragionato nella maniera corretta? E nel caso in cui io abbia sbagliato ragionamento come posso ragionare?
Grazie!
mi sto preparando all'esame di Geometria Due e mi è venuto un dubbio nella risoluzione di un esercizio.
Il testo dell'esercizio mi dice che ho l'insieme X che corrisponde all'insieme dei numeri reali $ \R $ e ho la famiglia di sottoinsieme di $ \R $ dati da
$ \{\R\}\bigcup\{A\subseteq \R | \sqrt{2} \notin A \}$ .
So che è una topologia e mi viene richiesto di determinare la chiusura di $\Z$ in $\R$ con la topologia data.
Per definizione io so che la chiusura di un generico insieme A è l'intersezione di tutti i chiusi contenenti A.
Io ho ragionato trovando i chiusi: secondo la topologia data, i chiusi sono insiemi di $\R$ che contengono anche l'elemento $sqrt{2}$ (è vero?), perciò la chiusura dell'insieme $\Z$ deve essere l'intersezione di insiemi di $\R$ che contengono $sqrt{2}$ e contengono anche tutti i numeri interi, positivi e negativi. Io quindi sono arrivata alla conclusione che la chiusura dell'insieme $\Z$ in $\R$ con la topologia data è l'unione:
$\{\Z\}\bigcup\{sqrt{2}\}$.
Qualcuno mi può dire se ho ragionato nella maniera corretta? E nel caso in cui io abbia sbagliato ragionamento come posso ragionare?
Grazie!
Risposte
Sì, è giusto (a parte un paio di parentesi di troppo); $ZZ$ è aperto in $RR$ con la topologia dei sottoinsiemi che evitano \(\sqrt{2}\), l'insieme \(\mathbb Z \cup \{\sqrt{2}\}\) (tu hai scritto \(\{\mathbb Z\}\cup \{\sqrt{2}\}\), che è una cosa diversa) è invece chiuso, e siccome non c'è un insieme propriamente contenuto tra $ZZ$ e \(\mathbb Z \cup \{\sqrt{2}\}\)...
"fmnq":
Sì, è giusto (a parte un paio di parentesi di troppo); $ZZ$ è aperto in $RR$ con la topologia dei sottoinsiemi che evitano \(\sqrt{2}\), l'insieme \(\mathbb Z \cup \{\sqrt{2}\}\) (tu hai scritto \(\{\mathbb Z\}\cup \{\sqrt{2}\}\), che è una cosa diversa) è invece chiuso, e siccome non c'è un insieme propriamente contenuto tra $ZZ$ e \(\mathbb Z \cup \{\sqrt{2}\}\)...
Grazie, ma qual è la differenza tra $ \{ \mathbb Z \} \cup \{sqrt(2) \} $ e $ \mathbb Z \cup \{sqrt(2) \} $ ?
"isabellaaa97":
[quote="fmnq"]Sì, è giusto (a parte un paio di parentesi di troppo); $ZZ$ è aperto in $RR$ con la topologia dei sottoinsiemi che evitano \(\sqrt{2}\), l'insieme \(\mathbb Z \cup \{\sqrt{2}\}\) (tu hai scritto \(\{\mathbb Z\}\cup \{\sqrt{2}\}\), che è una cosa diversa) è invece chiuso, e siccome non c'è un insieme propriamente contenuto tra $ZZ$ e \(\mathbb Z \cup \{\sqrt{2}\}\)...
Grazie, ma qual è la differenza tra $ \{ \mathbb Z \} \cup \{sqrt(2) \} $ e $ \mathbb Z \cup \{sqrt(2) \} $ ?[/quote]
Gli elementi del primo insieme sono l'insieme $ZZ$ e $\sqrt 2$; gli elementi del secondo sono tutti i numeri interi, e $\sqrt 2$. Sono le parentesi a fare la differenza: $\{x\}\ne x$ (il primo insieme ha un solo elemento; il secondo ne ha tanti quanti ne ha $x$).
"fmnq":
[quote="isabellaaa97"][quote="fmnq"]Sì, è giusto (a parte un paio di parentesi di troppo); $ZZ$ è aperto in $RR$ con la topologia dei sottoinsiemi che evitano \(\sqrt{2}\), l'insieme \(\mathbb Z \cup \{\sqrt{2}\}\) (tu hai scritto \(\{\mathbb Z\}\cup \{\sqrt{2}\}\), che è una cosa diversa) è invece chiuso, e siccome non c'è un insieme propriamente contenuto tra $ZZ$ e \(\mathbb Z \cup \{\sqrt{2}\}\)...
Grazie, ma qual è la differenza tra $ \{ \mathbb Z \} \cup \{sqrt(2) \} $ e $ \mathbb Z \cup \{sqrt(2) \} $ ?[/quote]
Gli elementi del primo insieme sono l'insieme $ZZ$ e $\sqrt 2$; gli elementi del secondo sono tutti i numeri interi, e $\sqrt 2$. Sono le parentesi a fare la differenza: $\{x\}\ne x$ (il primo insieme ha un solo elemento; il secondo ne ha tanti quanti ne ha $x$).[/quote]
Capito, grazie!
Mi viene anche chiesto di dire se lo spazio topologico con la topologia detta è compatto. Io ho pensato che lo è perchè se considero un ricoprimento formato dai generici aperti di $ \mathbb{R}$ posso considerare un sottoricoprimento finito dato da $ {\mathbb{R}}\cup{(-\infty,sqrt{2}),(sqrt{2},\infty)} $. è corretto?
Se hai un ricoprimento aperto di $RR$ rispetto a quella topologia, qual è l'unico modo di avere un aperto $U$ che contenga $\sqrt 2$?
"fmnq":
Se hai un ricoprimento aperto di $RR$ rispetto a quella topologia, qual è l'unico modo di avere un aperto $U$ che contenga $\sqrt 2$?
$U=\mathbb{R}$?
E quindi...
"fmnq":
E quindi...
Ho un sottoricoprimento finito formato solo da $\mathbb{R}$?
"isabellaaa97":
[quote="fmnq"]E quindi...
Ho un sottoricoprimento finito formato solo da $\mathbb{R}$?[/quote]
Eh già!
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