Chiedo aiuto a tutti i mod e a Luca Lussardi ;-)
Ho postato precedentemente questi esercizi ma forse per difficoltà di altervista la maggiorparte di voi nn è riuscito a visualizzarle..(visto ke nessuno mi ha dato in pratica risposta)...
siccome sono di importanza..diciamo vitale..poichè sono prossimo a un esame vi chiedo se potreste aiutarmi a darmi le soluzioni per poterle confrontare con le mie..
ecco il link (aspettate un pò se nn si vede nulla)
http://placidosh.altervista.org/index.htm
sperando nel vostro aiuto e sempre disponibile vi saluto...
in caso di prob.. galante.franco@libero.it
siccome sono di importanza..diciamo vitale..poichè sono prossimo a un esame vi chiedo se potreste aiutarmi a darmi le soluzioni per poterle confrontare con le mie..
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http://placidosh.altervista.org/index.htm
sperando nel vostro aiuto e sempre disponibile vi saluto...
in caso di prob.. galante.franco@libero.it
Risposte
Non esperto come Luca, ma mi sembra che per quanto riguarda l'esercizio 6 la condizione sia W ortogonale a V.
La condizione e' verificata visto che:
V=(1,1,-1)
W=(1,0,1)
< V , W >(R^3) = 1 - 1 = 0
(con(R^3) indico il prodotto scalare di R^3)
(Poi trovare x e' solo una questione di conti).
L'unico dubbio e' che E sia o meno R^3.............
La condizione e' verificata visto che:
V=(1,1,-1)
W=(1,0,1)
< V , W >(R^3) = 1 - 1 = 0
(con
(Poi trovare x e' solo una questione di conti).
L'unico dubbio e' che E sia o meno R^3.............
grazie mille david...
e x gli altri ke mi sai dire?
e x gli altri ke mi sai dire?
Per l'esercizio 3 credo che sia necessario applicare Rouche-Capelli e trovare il rango della matrice associata al sistema in funzione di a. Se ti basta sapere quando esiste una unica soluzione e' sufficiente fare il determinante della matrice (poi si risolve con Cramer o Gauss).....
Per gli altri non posso esserti d'aiuto visto che non ho abbastanza conoscenze di algebra lineare....
Per gli altri non posso esserti d'aiuto visto che non ho abbastanza conoscenze di algebra lineare....
grazie mille david.. lo credo anch'io...
ma qualcun'altro ke mi venga in aiuto??
nessuno sa di algebra lineare?
ma qualcun'altro ke mi venga in aiuto??
nessuno sa di algebra lineare?
Provo con l'esercizio 1.
U) Riscrivo la matrice 2x2 considerando le condizioni imposte :
[2z,0; z, t].
La dimensione di U è : 2 ( ci sono 2 variabili libere : z , t mentre le altre sono vincolate dalle condizioni : x = 2z ; y = 0).
Una base di U sarà allora : [0,0;0,1],[2,0;1,0] avendo fissato z=0 e t=1 per la prima matrice e z=1, t=0 per la seconda.
W) Noto che la terza matrice si ottiene come somma della prima e della seconda : la terza è quindi una combinazione lineare delle altre due ; dunque non può far parte di una base .
Allora una base di W è :
[0,1;1,1] , [ 2, -1;0,0].
DIM W = 2 .
Camillo
U) Riscrivo la matrice 2x2 considerando le condizioni imposte :
[2z,0; z, t].
La dimensione di U è : 2 ( ci sono 2 variabili libere : z , t mentre le altre sono vincolate dalle condizioni : x = 2z ; y = 0).
Una base di U sarà allora : [0,0;0,1],[2,0;1,0] avendo fissato z=0 e t=1 per la prima matrice e z=1, t=0 per la seconda.
W) Noto che la terza matrice si ottiene come somma della prima e della seconda : la terza è quindi una combinazione lineare delle altre due ; dunque non può far parte di una base .
Allora una base di W è :
[0,1;1,1] , [ 2, -1;0,0].
DIM W = 2 .
Camillo
Continuando con l'esercizio 1 :
U intersezione W :
il generico vettore di U sarà : u = [2b,0;b,a]
il generico vettore di W sarà : w = [2b, a-b;a, a]
Per i vettori che apparterranno ad entrambi i sottospazi U e W dovrà essere : a= b e quindi saranno i vettori :[ 2b,0;b,b].
Quindi DIM U intersez W = 1 e una base sarà : [ 2,0;1,1].
Camillo
U intersezione W :
il generico vettore di U sarà : u = [2b,0;b,a]
il generico vettore di W sarà : w = [2b, a-b;a, a]
Per i vettori che apparterranno ad entrambi i sottospazi U e W dovrà essere : a= b e quindi saranno i vettori :[ 2b,0;b,b].
Quindi DIM U intersez W = 1 e una base sarà : [ 2,0;1,1].
Camillo
Considero l'esercizio 2 solo il caso " su R ".
userò per semplicità le lettere latine : a, b, c, d etc.
Tenendo conto delle condizioni ( a+b=0; d=0) scrivo il generico vettore w di W :[a, -a;c,0].
un altro vettore u di W sarà :[e, -e;g,0]
il vettore somma w+u = [(a+e), -(a+e);(c+g),0]chiaramente appartiene a W .
E' facile verificare che anche il prodotto numero reale per vettore di W appartiene ancora a W.
Quindi W è un sottospazio vettoriale.
DIM W = 2 ( 2 variabili libere : a, c).
Una base : [1,-1;0,0] , [0,0;1,0].
Camillo
userò per semplicità le lettere latine : a, b, c, d etc.
Tenendo conto delle condizioni ( a+b=0; d=0) scrivo il generico vettore w di W :[a, -a;c,0].
un altro vettore u di W sarà :[e, -e;g,0]
il vettore somma w+u = [(a+e), -(a+e);(c+g),0]chiaramente appartiene a W .
E' facile verificare che anche il prodotto numero reale per vettore di W appartiene ancora a W.
Quindi W è un sottospazio vettoriale.
DIM W = 2 ( 2 variabili libere : a, c).
Una base : [1,-1;0,0] , [0,0;1,0].
Camillo
grazie mille camillo..
riguardo l'javascript:bold(esercizio 2);
Bold sui complessi in pratica nn è spazio vettoriale xkè il coniugato di gamma nn è uguale al suo coniugato giusto?basta solo dire questo o c'è qualcos'altro?
Per l'esercizio 4 ho creato le immagini usuali, cioè vedere quanto vale f(1,0,0);f(0,1,0);f(0,0,1), le ho messe riga in matrice e ne ho calcotato il rango, ke dovrebbe essere 2,ke è uguale alla dimensione dell'immagine di f,solo ke nn so trovare la base.
Per poi trovare il nucleo ho posto uguale al vettore nullo la funzione trovando ke c'è una sola variabile libera e quindi DimKerf=1,trovando come base oltre a quella banale..(1,1,1)
ho qualche dubbio sulle basi ma credo ke le dimensioni siano esatte..xkè se nn sbaglio DimKerf+DimImf=dimensione dello spazio in cui si opera..
cioè 1+2=3(siamo in R3)
Per quanto riguarda la seconda parte nn ci sono prob a dimostrare ke i vettori sono una base xkè il determinante è diverso da zero e quindi sono Linearm Indip.
Ma nn capisco la richiesta "Si determini la matrice associata ad f relativamente a questa base ed il suo rango"
T prego di correggermi se ho detto e fatto qualche mega cavolata.. cosi in caso.. sbagliando si impara
Placido
riguardo l'javascript:bold(esercizio 2);
Bold sui complessi in pratica nn è spazio vettoriale xkè il coniugato di gamma nn è uguale al suo coniugato giusto?basta solo dire questo o c'è qualcos'altro?
Per l'esercizio 4 ho creato le immagini usuali, cioè vedere quanto vale f(1,0,0);f(0,1,0);f(0,0,1), le ho messe riga in matrice e ne ho calcotato il rango, ke dovrebbe essere 2,ke è uguale alla dimensione dell'immagine di f,solo ke nn so trovare la base.
Per poi trovare il nucleo ho posto uguale al vettore nullo la funzione trovando ke c'è una sola variabile libera e quindi DimKerf=1,trovando come base oltre a quella banale..(1,1,1)
ho qualche dubbio sulle basi ma credo ke le dimensioni siano esatte..xkè se nn sbaglio DimKerf+DimImf=dimensione dello spazio in cui si opera..
cioè 1+2=3(siamo in R3)
Per quanto riguarda la seconda parte nn ci sono prob a dimostrare ke i vettori sono una base xkè il determinante è diverso da zero e quindi sono Linearm Indip.
Ma nn capisco la richiesta "Si determini la matrice associata ad f relativamente a questa base ed il suo rango"
T prego di correggermi se ho detto e fatto qualche mega cavolata.. cosi in caso.. sbagliando si impara
Placido
Camillo ci sei ancora?
scusa se a volte insisto ma ho proprio bisogno d avere una conferma perchè nn riesco a trovare da nessuna parte esercizi simili svolti e avendo la settimana prossima l'esame.. diciamo ke sono abbastanza sulle spine
scusa se a volte insisto ma ho proprio bisogno d avere una conferma perchè nn riesco a trovare da nessuna parte esercizi simili svolti e avendo la settimana prossima l'esame.. diciamo ke sono abbastanza sulle spine
Allora, andiamo con ordine. Non ho letto tutti i post precedenti, per cui puo' essere che ripeta cose gia' dette.
1) Per U e' facile trovare una base, basta scrivere il vettore generico usando le condizioni date. Risulta di dimensione 2. Per W, quelle tre matrici dovrebbero essere indipendenti (da verificare). Se lo sono, sono una base per W. Basta poi scrivere una generica matrice di U ed una generica matrice di W e uguagliarle. Trovi cosi' la matrice generica dell'intersezione, dalla quale risali facilmente alla dimensione di U int W. Stessa cosa per W+U; alla fine verifichi la formula di Grassmann.
2) Prova a far vedere che lo spazio dato non e' chiuso rispetto al prodotto per uno scalare complesso (attraverso un esempio). Poi, passando al reale, ti conviene scrivere i numeri complessi con parte reale ed immaginaria; ti ritrovi quindi come nell'esercizio 1.
3) Standard; usi Rouche' Capelli per l'esistenza, e Cramer per la risoluzione.
4) Quanto a nucleo ed immagine basta usare le definizioni. E' standard poi costruire la matrice rispetto alla base, basta usare anche qui la definizione.
5) Visto che l'esercizio lo chiede, ti conviene trovare prima tutti gli autovettori di f, e poi vedere se c'e' una base per R^3 fatta da autovettori per f.
6) La condizione mi sa che e' l'ortogonalita' tra v e w, per le note proprieta' del prodotto vettoriale. Poi e' un facile conto risolvere l'equazione data. Metti x incognito e sviluppi il prodotto vettoriale.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
1) Per U e' facile trovare una base, basta scrivere il vettore generico usando le condizioni date. Risulta di dimensione 2. Per W, quelle tre matrici dovrebbero essere indipendenti (da verificare). Se lo sono, sono una base per W. Basta poi scrivere una generica matrice di U ed una generica matrice di W e uguagliarle. Trovi cosi' la matrice generica dell'intersezione, dalla quale risali facilmente alla dimensione di U int W. Stessa cosa per W+U; alla fine verifichi la formula di Grassmann.
2) Prova a far vedere che lo spazio dato non e' chiuso rispetto al prodotto per uno scalare complesso (attraverso un esempio). Poi, passando al reale, ti conviene scrivere i numeri complessi con parte reale ed immaginaria; ti ritrovi quindi come nell'esercizio 1.
3) Standard; usi Rouche' Capelli per l'esistenza, e Cramer per la risoluzione.
4) Quanto a nucleo ed immagine basta usare le definizioni. E' standard poi costruire la matrice rispetto alla base, basta usare anche qui la definizione.
5) Visto che l'esercizio lo chiede, ti conviene trovare prima tutti gli autovettori di f, e poi vedere se c'e' una base per R^3 fatta da autovettori per f.
6) La condizione mi sa che e' l'ortogonalita' tra v e w, per le note proprieta' del prodotto vettoriale. Poi e' un facile conto risolvere l'equazione data. Metti x incognito e sviluppi il prodotto vettoriale.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Grazie Mille Luca,sei un grande
Ho qualche dubbio su come si applica la definizione nell'esercizio 4 per trovare la matrice associata alla base...e poi non so come impostare l'equazione nel sesto esercizio..
Ringraziandoti anticipatamente aspetto fiducioso una tua risposta...so ke mi stupiarai nuovamente
PS Naturalmente si accettano consigli da tutti(vi prego se potete risp presto ke mercoledi' ho l'esame).
Ho qualche dubbio su come si applica la definizione nell'esercizio 4 per trovare la matrice associata alla base...e poi non so come impostare l'equazione nel sesto esercizio..
Ringraziandoti anticipatamente aspetto fiducioso una tua risposta...so ke mi stupiarai nuovamente
PS Naturalmente si accettano consigli da tutti(vi prego se potete risp presto ke mercoledi' ho l'esame).
Riprendo l’esercizio 2 prima sul campo dei complessi e poi sul campo dei reali
a)CAMPO DEI COMPLESSI :W non è un sottospazio vettoriale . Vediamo di dimostrarlo.
Premetto alcune considerazioni dedotte applicando le condizioni imposte.
Beta = -alfa ; gamma è un numero reale perché deve essere : gamma = gamma coniugato e questo è possibile se e solo se gamma è reale ; delta = 0.
Sia :alfa = a+ib ; beta = -(a+ib) ; gamma = c ; delta = 0
[ naturalmente a,b,c sono numeri reali]
Il generico vettore w di W è rappresentato da :
[ (a+ib), -(a+ib); c, 0 ].
E’ facile mostrare che la somma di due vettori di W è un vettore che appartiene ancora a W.
Invece , come dice Luca il prodotto di un numero complesso per un vettore di W dà un vettore che non appartiene a W .
Infatti , il numero complesso per cui moltiplico il vettore sia ad es . (e+if).
Il prodotto è : ( e+if)*[(a+ib),-(a+ib); c, 0 ] =
[(ae-fb+i(af+be)), -(ae-fb+i(af+be)) ; (ce+icf), 0].
Quindi il vettore prodotto non appartiene a W in quanto l’elemento : ce+icf è in generale un numero complesso , mentre per appartenere a W , deve essere sempre un numero reale.
b)CAMPO DEI REALI : W è un sottospazio vettoriale.Vediamo di dimostrarlo .
Il generico vettore w di W è sempre : [ (a+ib), -(a+ib); c, 0 ].
E’ sempre vero che la somma di due vettori appartiene ancora a W
( questo era vero anche nel caso precedente).
Vediamo il prodotto adesso di un numero reale : h per il vettore w di W .
Si ottiene : [(ah+ihb), -(ah+ihb) ; hc , 0] che appartiene a W , infatti hc è un numero reale .
DIM W : 3 ( tre variabili libere : a,b,c) ; infatti ogni vettore
[ (a+ib), -(a+ib); c, 0 ] di W può essere scritto come :
a[1,-1;0,0] +b[i, -i ;0 ,0] +c[ 0,0 ; 1,0] e questi 3 vettori sono linearmente indipendenti e formano quindi una base .
Una base di W quindi è :
[ 1 ,-1 ; 0 ,0], [ i, -i ;0 , 0] , [ 0, 0 ; 1 ,0].
Spero non ci siano errori ..
Camillo
a)CAMPO DEI COMPLESSI :W non è un sottospazio vettoriale . Vediamo di dimostrarlo.
Premetto alcune considerazioni dedotte applicando le condizioni imposte.
Beta = -alfa ; gamma è un numero reale perché deve essere : gamma = gamma coniugato e questo è possibile se e solo se gamma è reale ; delta = 0.
Sia :alfa = a+ib ; beta = -(a+ib) ; gamma = c ; delta = 0
[ naturalmente a,b,c sono numeri reali]
Il generico vettore w di W è rappresentato da :
[ (a+ib), -(a+ib); c, 0 ].
E’ facile mostrare che la somma di due vettori di W è un vettore che appartiene ancora a W.
Invece , come dice Luca il prodotto di un numero complesso per un vettore di W dà un vettore che non appartiene a W .
Infatti , il numero complesso per cui moltiplico il vettore sia ad es . (e+if).
Il prodotto è : ( e+if)*[(a+ib),-(a+ib); c, 0 ] =
[(ae-fb+i(af+be)), -(ae-fb+i(af+be)) ; (ce+icf), 0].
Quindi il vettore prodotto non appartiene a W in quanto l’elemento : ce+icf è in generale un numero complesso , mentre per appartenere a W , deve essere sempre un numero reale.
b)CAMPO DEI REALI : W è un sottospazio vettoriale.Vediamo di dimostrarlo .
Il generico vettore w di W è sempre : [ (a+ib), -(a+ib); c, 0 ].
E’ sempre vero che la somma di due vettori appartiene ancora a W
( questo era vero anche nel caso precedente).
Vediamo il prodotto adesso di un numero reale : h per il vettore w di W .
Si ottiene : [(ah+ihb), -(ah+ihb) ; hc , 0] che appartiene a W , infatti hc è un numero reale .
DIM W : 3 ( tre variabili libere : a,b,c) ; infatti ogni vettore
[ (a+ib), -(a+ib); c, 0 ] di W può essere scritto come :
a[1,-1;0,0] +b[i, -i ;0 ,0] +c[ 0,0 ; 1,0] e questi 3 vettori sono linearmente indipendenti e formano quindi una base .
Una base di W quindi è :
[ 1 ,-1 ; 0 ,0], [ i, -i ;0 , 0] , [ 0, 0 ; 1 ,0].
Spero non ci siano errori ..
Camillo
grazie Camillo,
sei stato chiarissimo come sempre..ora ho capito...
ma diciamo mi restano gli ultimi due dubbi e sono proprio quelli scritti nel post del 24/04/05..
spero tu mi sappia dare una risposta al piu' presto xkè mercoledi pomeriggio ho l'esame ;-(
grazie ancora
sei stato chiarissimo come sempre..ora ho capito...
ma diciamo mi restano gli ultimi due dubbi e sono proprio quelli scritti nel post del 24/04/05..
spero tu mi sappia dare una risposta al piu' presto xkè mercoledi pomeriggio ho l'esame ;-(
grazie ancora
La matrice richiesta all'esercizio 4 e' abbastanza facile: per definizione e' quella che ha per colonne le componenti (rispetto ad una base nel codominio) dei vettori della base scelta del dominio, trasformati dall'endomorfismo.
Per l'equazione da impostare, basta scrivere i vettori in componenti, e sviluppare il prodotto vettoriale, niente di difficile. Verra' poi un sistema da risolvere.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Per l'equazione da impostare, basta scrivere i vettori in componenti, e sviluppare il prodotto vettoriale, niente di difficile. Verra' poi un sistema da risolvere.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Per l'esercizio 6 vediamo come procedere:
sia il vettore x= x1*i+x2*j+x3*k
x vett v = w = i+k.
x vett v = det[ i,j,k;x1,x2,x3;1 ,1, -1]=i(-x2-x3)+j(x1+x3)+k(x1-x2)
e quindi ecco il sistema da risolvere per trovare le componenti di x :
( -x2-x3 = 1
) x1+x3 = 0
) x1-x2 = 1 da cui si ottiene:
x3= -x1 ; x2= x1-1 ; x1 = x1 quindi infinite alla 1 soluzioni .
il vettore x è quindi =x1*i +(x1-1)j -x1*k .
La condizione su v e w affinchè il sistema ammetta soluzione è che siano ortogonali ( in quanto w è la risultante del prodotto vettoriale tra x e v); allora il prodotto scalare : v scal w deve essere nullo.
Infatti : v*w= 1*1+1*0-1*1 = 0.
Ma allora anche : x scal w deve dare 0 , in quanto , per la stessa ragione i due vettori sono ortogonali.
Imponendo questa condizione ottengo :
x1*1+x2*0+x3*1 = 0 da cui ottengo :
x1 = x1 ; x2 = x2 ; x3= -x1.
Se la paragono con la soluzione trovata prima usando il prodotto vettoriale noto che in questo caso x2 non viene definita .
Ritengo quindi che la condizione di perpendicolarità sia troppo " debole" e non sufficiente a risolvere univocamente il problema; su questo punto gradirei un parere da parte di Luca .
Camillo
sia il vettore x= x1*i+x2*j+x3*k
x vett v = w = i+k.
x vett v = det[ i,j,k;x1,x2,x3;1 ,1, -1]=i(-x2-x3)+j(x1+x3)+k(x1-x2)
e quindi ecco il sistema da risolvere per trovare le componenti di x :
( -x2-x3 = 1
) x1+x3 = 0
) x1-x2 = 1 da cui si ottiene:
x3= -x1 ; x2= x1-1 ; x1 = x1 quindi infinite alla 1 soluzioni .
il vettore x è quindi =x1*i +(x1-1)j -x1*k .
La condizione su v e w affinchè il sistema ammetta soluzione è che siano ortogonali ( in quanto w è la risultante del prodotto vettoriale tra x e v); allora il prodotto scalare : v scal w deve essere nullo.
Infatti : v*w= 1*1+1*0-1*1 = 0.
Ma allora anche : x scal w deve dare 0 , in quanto , per la stessa ragione i due vettori sono ortogonali.
Imponendo questa condizione ottengo :
x1*1+x2*0+x3*1 = 0 da cui ottengo :
x1 = x1 ; x2 = x2 ; x3= -x1.
Se la paragono con la soluzione trovata prima usando il prodotto vettoriale noto che in questo caso x2 non viene definita .
Ritengo quindi che la condizione di perpendicolarità sia troppo " debole" e non sufficiente a risolvere univocamente il problema; su questo punto gradirei un parere da parte di Luca .
Camillo
Sicuramente la condizione di ortogonalita' e' troppo debole per avere unicita' della soluzione. Ma non si chiedeva l'unicita', bensi' l'esistenza di almeno una soluzione. Credo che allora la condizione di ortogonalita' sia sufficiente per garantire l'esistenza.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Infatti l'esercizio spingeva verso l'uso della ortogonalità, chiedendo prima di verificare che v e w sono ortogonali e dopo di risolvere il problema.
@ placidosh : tutto chiaro ?
Camillo
@ placidosh : tutto chiaro ?
Camillo
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