Chiarimento teorema spettrale (Il Lang sbaglia?!)

[Giorgeous1]

Ciao! Avrei bisogno di un aiuto riguardo una piccola dimostrazione, su cui si basa il teorema spettrale. Sostanzialmente, non capisco come mai, qualunque sia lo spazio vettoriale V (sottospazio di R^n), l'endomorfismo L = Av che va da V in V abbia autovettori in V, se A è simmetrica.
Voglio dire, molti lo danno per scontato dicendo che semplicemente, essendo A simmetrica e dovendo quindi esserci almeno un autovalore reale, esisterà un autovettore. Fin qua ci sono, ma chi mi assicura che sia in V? Potrebbe benissimo essere in R^n, ma fuori da V!
L'unica dimostrazione che ho trovato è quella del Lang, ma è strana! Cioè, dice "[...] che abbia X come vettore delle coordinate rispetto alla base fissata". Però X è di n coefficienti, mentre la base di V non ha necessariamente n vettori!
Segue la dimostrazione che ho trovato:

Lemma: Sia V uno spazio vettoriale sul corpo reale, di dimensione finita e maggiore di zero. In V sia dato un prodotto scalare definito positivo. Se A: V ---> V è un'applicazione lineare simmetrica, allora possiede in V autovettori non nulli.

Dimostrazione: Fissiamo in V una base ortonormale. Allora, rispetto a questa base, A è rappresentato da una matrice reale simmetrica. Se X è un autovettore non nullo di A in R^n, allora l'elemento v di V, avente X come vettore delle coordinate rispetto alla base fissata, è un autovettore non nullo di A in V.

Potete, per favore, darmi una dimostrazione semplice per capire il senso di quanto scritto sopra, o comunque capire come mai negli endomorfismi che operano in sottospazi di R^n è garantita l'esistenza di autovettori?

[Magma1]

Sia $f : V->V$ simmetrico rispetto a $b$
$v,w$ autovettori relativi ad autovalori distinti $lambda, mu$.
Allora $x$ e $y$ sono ortogonali.

Infatti sappiamo che

$f(v)=lambdav$, $f(w)=mu w$

e che

$b(f(v), w)=b(v, f(w))$

Per cui

$lambda*b(v, w)=b(lambdav,w)=b(v,muw)=mu*b(v,w)$

$hArr b(v,w)*(lambda-mu)=0$

$rArr b(v,w)=0$

cioè $v,w$ sono ortogonali!