Chiarimento su nucleo e immagine di un'applicazione lineare
Salve a tutti,
ho qualche dubbio su nucleo e immagine di un'applicazione lineare.
Le definizioni fornite dal mio libro sono le classiche:
$KerT={v in V : T(v)=0} sube V;$
$ImT=T(V) = {T(V) : v in V} sube W;$
la prima è chiara, la seconda anche tranne che per quello che riguarda la condizione di suriettività: l'applicazione lineare T è suriettiva se e solo se $ImT=W$ . Dalla definizione di ImT infatti avevo capito che l'ImT era composto dagli elementi di W e che quindi fosse W; ma è evidente ora che non è così, quindi mi chiedevo, esistono elementi di W tali che non sono l'immagine di alcun elemento di v? Potreste fornirmi un esempio di questo caso, per permettermi di visualizzarlo?
Per quanto riguarda invece il nucleo la definizione è chiara, e so inoltre che per trovare il nucleo di un'applicazione lineare devo risolvere il sistema lineare omogeneo $T(v)=0$ . A questo proposito c'è un esempio del libro che mi perplime:
Sia $T:RR^3 rarr RR^3$ data da
$T|(x),(y),(z)|=|(x-y),(2y-2x),(z)|$.
Per trovare il nucleo devo risolvere il ristema lineare:
$\{(x - y = 0),(2y - 2x = 0),(z = 0):}$
A me viene che questo sistema lineare ha $oo^1$ soluzioni perchè la prima e la seconda equazione sono linearmente dipendenti; in particolare scriverei la soluzione così $(t,t,0)$. Quindi come faccio a stabilire qual'è il nucleo? Il libro dice che $KerT=RR|(1),(1),(0)|$, perchè? Ha semplicemente dato il valore di 1 a x(e quindi anche a y)? Perchè non dargli qualsiasi altro numero? Oppure questo discorso di dare a x(e quindi a y) qualsiasi numero è espresso dal fatto che davanti a $|(1),(1),(0)|$ ci sia $RR$? E se è così cosa vuol dire, che ci sono infiniti nuclei??
Ringrazio anticipatamente per la disponibilità!
Valentina
ho qualche dubbio su nucleo e immagine di un'applicazione lineare.
Le definizioni fornite dal mio libro sono le classiche:
$KerT={v in V : T(v)=0} sube V;$
$ImT=T(V) = {T(V) : v in V} sube W;$
la prima è chiara, la seconda anche tranne che per quello che riguarda la condizione di suriettività: l'applicazione lineare T è suriettiva se e solo se $ImT=W$ . Dalla definizione di ImT infatti avevo capito che l'ImT era composto dagli elementi di W e che quindi fosse W; ma è evidente ora che non è così, quindi mi chiedevo, esistono elementi di W tali che non sono l'immagine di alcun elemento di v? Potreste fornirmi un esempio di questo caso, per permettermi di visualizzarlo?
Per quanto riguarda invece il nucleo la definizione è chiara, e so inoltre che per trovare il nucleo di un'applicazione lineare devo risolvere il sistema lineare omogeneo $T(v)=0$ . A questo proposito c'è un esempio del libro che mi perplime:
Sia $T:RR^3 rarr RR^3$ data da
$T|(x),(y),(z)|=|(x-y),(2y-2x),(z)|$.
Per trovare il nucleo devo risolvere il ristema lineare:
$\{(x - y = 0),(2y - 2x = 0),(z = 0):}$
A me viene che questo sistema lineare ha $oo^1$ soluzioni perchè la prima e la seconda equazione sono linearmente dipendenti; in particolare scriverei la soluzione così $(t,t,0)$. Quindi come faccio a stabilire qual'è il nucleo? Il libro dice che $KerT=RR|(1),(1),(0)|$, perchè? Ha semplicemente dato il valore di 1 a x(e quindi anche a y)? Perchè non dargli qualsiasi altro numero? Oppure questo discorso di dare a x(e quindi a y) qualsiasi numero è espresso dal fatto che davanti a $|(1),(1),(0)|$ ci sia $RR$? E se è così cosa vuol dire, che ci sono infiniti nuclei??
Ringrazio anticipatamente per la disponibilità!
Valentina
Risposte
"valentina92":
la prima è chiara, la seconda anche tranne che per quello che riguarda la condizione di suriettività: l'applicazione lineare T è suriettiva se e solo se $ImT=W$ . Dalla definizione di ImT infatti avevo capito che l'ImT era composto dagli elementi di W e che quindi fosse W; ma è evidente ora che non è così, quindi mi chiedevo, esistono elementi di W tali che non sono l'immagine di alcun elemento di v? Potreste fornirmi un esempio di questo caso, per permettermi di visualizzarlo?
Per esempio l'applicazione lineare nulla. Concretamente $T : RR^2 -> RR^2$, $T(v) = 0$ , $AA v in RR^2$.
Prendi un vettore non nullo nel codominio $W = RR^2$ e cerca di capire se può essere immagine di qualche elemento di $V = RR^2$ mediante l'endomorfismo $T$.
"valentina92":
Sia $T:RR^3 rarr RR^3$ data da
$T|(x),(y),(z)|=|(x-y),(2y-2x),(z)|$.
Per trovare il nucleo devo risolvere il ristema lineare:
$\{(x - y = 0),(2y - 2x = 0),(z = 0):}$
A me viene che questo sistema lineare ha $oo^1$ soluzioni perchè la prima e la seconda equazione sono linearmente dipendenti; in particolare scriverei la soluzione così $(t,t,0)$. Quindi come faccio a stabilire qual'è il nucleo? Il libro dice che $KerT=RR|(1),(1),(0)|$, perchè? Ha semplicemente dato il valore di 1 a x(e quindi anche a y)? Perchè non dargli qualsiasi altro numero? Oppure questo discorso di dare a x(e quindi a y) qualsiasi numero è espresso dal fatto che davanti a $|(1),(1),(0)|$ ci sia $RR$? E se è così cosa vuol dire, che ci sono infiniti nuclei??
$t$ è detto parametro libero. E' normale che la soluzione venga del tipo $(t,t,0)$; come hai constatato la seconda equazione è superflua e la prima ti indica che $x = y$.
Raccogliendo $t$ puoi scrivere che il nucleo è formato da tutti i vettori $t(1,1,0)$ al variare di $t in RR$, o, scrivendolo formalmente:
$Ker T = { t ( 1 , 1 , 0 ) : t in RR }$
o ancora $Ker T = < ( 1 , 1 , 0 ) >$ (indico così il sottospazio vettoriale generato dal vettore $(1, 1 , 0)$, ossia tutti i multipli di tale vettore). Il nucleo è UNO SOLO (perché dici infiniti?) ed è un sottospazio vettoriale di dimensione $1$.
La scrittura $KerT=RR|(1),(1),(0)|$ è semplice notazione (che io non uso).
Se per esempio i parametri liberi fossero stati 2 e la soluzione del sistema una cosa del tipo $( t + u , - t , u )$, allora
$( t + u , - t , u ) = t ( 1 , - 1 , 0 ) + u ( 1 , 0 , 1 )$
Perciò $Ker T = < ( 1 , -1 , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 ) > $ , quindi $Ker(T)$ avrebbe avuto dimensione 2.
Non avevo pensato a raccogliere il parametro... ma quindi in pratica ciò che io trovo risolvendo il sistema lineare omogeneo è la base del sottospazio vettoriale nucleo? Al posto di quella notazione potrei scrivere $KerT=Span(|1,1,0|)$ oppure $KerT={t(1,1,0) : t in RR}$ , visto che il nucleo è composto da tutti i multipli di quel vettore che ho trovato, al variare di t?Sarebbero giuste entrambe le notazioni che ho scritto?
E se invece il sistema lineare omogeneo avesse un'unica soluzione (e l'unico caso in cui questo accade è quello in cui questa unica soluzione è il vettore nullo, e vorrebbe dire che le equazioni sarebbero linearmente indipendenti), allora sarebbe semplicemente $KerT={0}$? E sarebbe questo il caso in cui l'applicazione lineare sarebbe iniettiva(già che ci sono, mi accerto anche di questo)?
E se invece il sistema lineare omogeneo avesse un'unica soluzione (e l'unico caso in cui questo accade è quello in cui questa unica soluzione è il vettore nullo, e vorrebbe dire che le equazioni sarebbero linearmente indipendenti), allora sarebbe semplicemente $KerT={0}$? E sarebbe questo il caso in cui l'applicazione lineare sarebbe iniettiva(già che ci sono, mi accerto anche di questo)?
Dici bene.
Solo una precisazione: risolvendo il sistema lineare non trovi una base, ma trovi proprio tutto un sottospazio (per $t$ che varia in $RR$). Per trovare una base basta portare fuori il parametro. Nel tuo esempio $(1, 1, 0)$ è una base del nucleo di $T$.
Spero di essere stato chiaro.
Solo una precisazione: risolvendo il sistema lineare non trovi una base, ma trovi proprio tutto un sottospazio (per $t$ che varia in $RR$). Per trovare una base basta portare fuori il parametro. Nel tuo esempio $(1, 1, 0)$ è una base del nucleo di $T$.
Spero di essere stato chiaro.
Chiarissimo. Userò quelle altre due notazioni al posto di quella del libro, mi sembrano molto più chiare (forse anche per che le ho capite da sola)... Grazie mille per la pazienza e per avermi fatto capire bene 
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