Chiarimento su esempio per determinare Matrici Associate
Buongiorno,
sul libro di testo (ISBN-10: 8874889763, ISBN-13: 978-8874889761) sono arrivato a questo esempio (ho acquistato il libro su Google Play quindi ho fatto uno screenshot):
Potreste spiegarmi perché ẽ1 e ẽ2 coinciderebbero rispettivamente con (0,-1) e (1,1)? (Testo sottolineato in verde)
Per quale motivo quando esegue la trasformazione, usa i trasformati di T(1,1) e T(-1,0), cioè (2,-1,0) e (0,4,-2) e non gli elementi di una base naturale di B'? (Testo sottolineato in blu).
Grazie
sul libro di testo (ISBN-10: 8874889763, ISBN-13: 978-8874889761) sono arrivato a questo esempio (ho acquistato il libro su Google Play quindi ho fatto uno screenshot):
Potreste spiegarmi perché ẽ1 e ẽ2 coinciderebbero rispettivamente con (0,-1) e (1,1)? (Testo sottolineato in verde)
Per quale motivo quando esegue la trasformazione, usa i trasformati di T(1,1) e T(-1,0), cioè (2,-1,0) e (0,4,-2) e non gli elementi di una base naturale di B'? (Testo sottolineato in blu).
Grazie
Risposte
Perdona la mia ignoranza, ma cosa significa \( {\equiv} \) ? Cioè \( e_1 \equiv_\mathcal{B} (0,-1) \) che vuol dire?
intanto per la seconda vedi:
intanto per la seconda vedi:
https://i.imgur.com/ToKrp17.png
Perdona tu la mia, non ne sono sicuro!
Da come l'ho inteso io significa che i vettori e1 e e2 coincidono con quegli elementi della base B.
Questa è l'unica spiegazione che mi sono dato, facendo una ricerca nelle pagine precedenti del testo non trovo niente, sicuramente è sfuggito qualcosa a me.
Speravo anche che qualcuno, rispondendo, mi chiarisse anche questo dubbio, pensando che tra le persone più abili di me in algebra lineare fosse scontato!
Da come l'ho inteso io significa che i vettori e1 e e2 coincidono con quegli elementi della base B.
Questa è l'unica spiegazione che mi sono dato, facendo una ricerca nelle pagine precedenti del testo non trovo niente, sicuramente è sfuggito qualcosa a me.
Speravo anche che qualcuno, rispondendo, mi chiarisse anche questo dubbio, pensando che tra le persone più abili di me in algebra lineare fosse scontato!
"marco2132k":
intanto per la seconda vedi:
https://i.imgur.com/ToKrp17.png
Conosco quella definizione è praticamente identica a quella che da il libro, quello che non comprendo (ma è un mio limite intellettivo) è essendo la matrice relativa alle basi naturali di B e B' e non proprio a B e B', perché nella trasformazione c'è la base B' anziché una sua base naturale?
Ad esempio, un pezzo dell'esercizio che non avevo screenshottato illustra come ricavare la matrice relativa a B e alla Base naturale di B', in questo esempio il testo usa come elementi (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) grazie ai quali equiparandoli agli elementi di B' ottiene i coefficenti per determinare la matrice. Perché non li usa anche in quello che ho postato?
Considera tutto ciò come un grande hint. Ricorda che un'applicazione lineare è univocamente determinata da come agisce sugli elementi di una base; se \(\mathcal B\) è una (non la) base del tuo spazio di partenza (per ora facciamo un qualsiasi \( \mathbb K \)-spazio vettoriale \( V \), poi ci spostiamo in \(\mathbb{R}^n\)), e letteralmente scrivi[nota]Non uso le parentesi, a.k.a. scrivo \( Tv_1 \) al posto di \( T(v_1) \).[/nota] \( Tv_i \) per \( i=1,\dots,n \) in una base arbitraria dello spazio di arrivo (fai, sempre per ora, un altro \( \mathbb K \)-spazio vettoriale \( W \)), fai \( \mathcal W \), la matrice associata a \( T \) ha per colonne le coordinate di \( Tv_i \) nella base \( \mathcal W \).
L'esercizio ti chiede di determinare la matrice associata ad un morfismo \( T \) rispetto ad altre due basi \( \mathcal{V}' \) e \( \mathcal{W}' \) rispettivamente dei due spazi. Tu però non hai, al momento, le informazioni necessarie per comporre questa matrice, dato che ciò che ti occorre è il risultato dell'applicazione di \( T \) agli elementi della nuova base \( \mathcal{V}' \). Se \( \mathcal{V}'=\{v'_i\}_{i=1,\dots,n} \) però \( v'_i=\alpha_{11}v_1+\dots \), dove \( v_i \) è il vettore della base originaria, \( \mathcal V \), quindi \[ \begin{split} Tv'_1&=T(\alpha_{11}v_1+\dots)=\text{qualcosa espresso in }\mathcal W\\ Tv'_2&=T(\alpha_{12}v_1+\dots )=\text{qualcos'altro espresso in }\mathcal W \end{split} \] e per la linearità di \( T \) è \( T(v'_i)= \alpha_{1i}Tv_i+\dots\) quindi...
Esempio concreto (cioè il tuo esercizio):
Se \[ T\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 0\end{pmatrix},\quad T\begin{pmatrix}-1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 4\\ -2\end{pmatrix} \] ed essendo per gli elementi di \( \tilde{\mathcal{B}}=\{e_1,e_2\} \), \( e_1 = \alpha_1(1,1)+\beta_1(-1,0) \) per qualche \(\alpha_1,\beta_1\in\mathbb R\) (e analoghe per \( e_2 \)...), sarà \[ T\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \beta_1\end{pmatrix}=\dots,\quad T\begin{pmatrix}\dots\end{pmatrix} =\dots\] tutto ciò che ti occorre è determinare questi coefficienti, cosa facile. Continua tu ora.
Spero di aver risposto a questa richiesta, che purtroppo non mi è chiara... Se hai dubbi, scrivi pure, ma cerca di utilizzare le formule \(\LaTeX\), come ho fatto io: rendono tutto meno suscettibile di fraintendimenti
L'esercizio ti chiede di determinare la matrice associata ad un morfismo \( T \) rispetto ad altre due basi \( \mathcal{V}' \) e \( \mathcal{W}' \) rispettivamente dei due spazi. Tu però non hai, al momento, le informazioni necessarie per comporre questa matrice, dato che ciò che ti occorre è il risultato dell'applicazione di \( T \) agli elementi della nuova base \( \mathcal{V}' \). Se \( \mathcal{V}'=\{v'_i\}_{i=1,\dots,n} \) però \( v'_i=\alpha_{11}v_1+\dots \), dove \( v_i \) è il vettore della base originaria, \( \mathcal V \), quindi \[ \begin{split} Tv'_1&=T(\alpha_{11}v_1+\dots)=\text{qualcosa espresso in }\mathcal W\\ Tv'_2&=T(\alpha_{12}v_1+\dots )=\text{qualcos'altro espresso in }\mathcal W \end{split} \] e per la linearità di \( T \) è \( T(v'_i)= \alpha_{1i}Tv_i+\dots\) quindi...
Esempio concreto (cioè il tuo esercizio):
Se \[ T\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 0\end{pmatrix},\quad T\begin{pmatrix}-1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 4\\ -2\end{pmatrix} \] ed essendo per gli elementi di \( \tilde{\mathcal{B}}=\{e_1,e_2\} \), \( e_1 = \alpha_1(1,1)+\beta_1(-1,0) \) per qualche \(\alpha_1,\beta_1\in\mathbb R\) (e analoghe per \( e_2 \)...), sarà \[ T\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \beta_1\end{pmatrix}=\dots,\quad T\begin{pmatrix}\dots\end{pmatrix} =\dots\] tutto ciò che ti occorre è determinare questi coefficienti, cosa facile. Continua tu ora.
"marco.p":
essendo la matrice relativa alle basi naturali di B e B' e non proprio a B e B', perché nella trasformazione c'è la base B' anziché una sua base naturale?
Spero di aver risposto a questa richiesta, che purtroppo non mi è chiara... Se hai dubbi, scrivi pure, ma cerca di utilizzare le formule \(\LaTeX\), come ho fatto io: rendono tutto meno suscettibile di fraintendimenti
p.s. Ho scoperto il significato di \(\equiv_\mathcal{V}\) per una base \( \mathcal V \)...
"marco2132k":
p.s. Ho scoperto il significato di \(\equiv_\mathcal{V}\) per una base \( \mathcal V \)...
Cioè???
Comunque grazie, forse sto iniziando a capire.
Mi resta ancora il dubbio sul perché e1 sia il secondo elemento di B invertito, come forse e2 è il primo elemento di B.
Per formare la matrice associata richiesta, che tu voglia o meno, hai bisogno di \( Te_1 \) e di \( Te_2 \), dove \( e_1,e_2\in\tilde{\mathcal B} \). Ma... come puoi fare a calcolarli? Di \( T \) sai solo che [nota]Per essere più conciso indico il vettore colonna \( \left(\begin{smallmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{smallmatrix}\right) \) con la sua trasposta \( {^t(x_1,x_2,\dots,x_n)} \).[/nota][nota]Non ti è data alcuna espressione del tipo \( T(v)=\text{cose} \), per qualsiasi vettore \( v \) del dominio. Tieni presente questo punto.[/nota]. \( T{^t(1,1)}={^t(2,-1,0)} \) e \( T{^t(-1,0)}={^t(0,4,-2)} \).
Fortunatamente, \( \mathcal B = \{(1,1),(-1,0)\}\) è una base, puoi pensare di scrivere i vettori della base canonica \( \tilde{\mathcal B} \) come una combinazione lineare dei vettori di \( \mathcal B \). Fatto ciò, ossia ottenuto \[ \begin{split} e_1 &= \alpha_{11}{^t(1,1)}+\alpha_{21}{^t(-1,0)}\\ e_2 &= \alpha_{12}{^t(1,1)}+\alpha_{22}{^t(-1,0)} \end{split} \] per dei numeri \( \alpha_{ij} \), (trova questi benedetti coefficienti!), possiamo determinare \( Te_1 \) e di \( Te_2 \), in quanto (per la linearità di \( T \)) è \[ \begin{split} Te_1&=T(\alpha_{11}{^t(1,1)}+\alpha_{21}{^t(-1,0)})=\alpha_{11}T{^t(1,1)}+\dots\\ Te_2&=T(\alpha_{12}{^t(1,1)}+\alpha_{22}{^t(-1,0)})=\alpha_{12}T{^t(1,1)}+\dots \end{split} \] e l'immagini \( T{^t(1,1)} \) e \( T{^t(-1,0)} \) sono cosa a te nota.
Fortunatamente, \( \mathcal B = \{(1,1),(-1,0)\}\) è una base, puoi pensare di scrivere i vettori della base canonica \( \tilde{\mathcal B} \) come una combinazione lineare dei vettori di \( \mathcal B \). Fatto ciò, ossia ottenuto \[ \begin{split} e_1 &= \alpha_{11}{^t(1,1)}+\alpha_{21}{^t(-1,0)}\\ e_2 &= \alpha_{12}{^t(1,1)}+\alpha_{22}{^t(-1,0)} \end{split} \] per dei numeri \( \alpha_{ij} \), (trova questi benedetti coefficienti!), possiamo determinare \( Te_1 \) e di \( Te_2 \), in quanto (per la linearità di \( T \)) è \[ \begin{split} Te_1&=T(\alpha_{11}{^t(1,1)}+\alpha_{21}{^t(-1,0)})=\alpha_{11}T{^t(1,1)}+\dots\\ Te_2&=T(\alpha_{12}{^t(1,1)}+\alpha_{22}{^t(-1,0)})=\alpha_{12}T{^t(1,1)}+\dots \end{split} \] e l'immagini \( T{^t(1,1)} \) e \( T{^t(-1,0)} \) sono cosa a te nota.
"marco.p":Ho cercato di fartici arrivare da solo su questo: calcola gli \(\alpha_{ij}\), ossia letteralmente "esprimi \( e_1 \) e il suo amico nella base \( \mathcal B \)". Scoprirai che è una mera casualità questo fatto, che non ha nulla a che vedere con la teoria...
perché e1 sia il secondo elemento di B invertito
"marco.p":cioè?[/quote] Se \( V \) \( \mathbb K\)-spazio vett. e \( \mathcal V \), \( \mathcal{V}' \) basi, e \( X_1,X_2\in\mathbb{K}\) sono due rappresentazioni (a.k.a. \(n\)-uple ordinate con le componenti dentro) dello stesso vettore rispettivamente a \(\mathcal V\) e a \(\mathcal{V}'\), allora il tuo testo apparentemente esprime questo fatto scrivendo \(X_1\equiv_{\mathcal{V}'}X_2\).
[quote="marco2132k"]p.s. Ho scoperto il significato di \( \equiv_\mathcal{V} \) per una base \( \mathcal V \)...
quel $equiv_B$ è un modo poco elegante di esprimere le coordinate di un vettore rispetto ad una base.
Grazie per l'aiuto.
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