Chiarimento su doppio prodotto vettoriale

[Alxxx28]

Anche se è coinvolto il momento angolare, la questione principale è di natura geometrica perciò ho deciso di
postare qui
Non mi è chiaro un passaggio del procedimento da seguire per scrivere il momento
angolare $K_O$ come $K_O=I \vec \omega$

Sappiamo che,per un sistema di punti materiali $S={(P_i,m_i)}_{i=1,..,N}$, il momento angolare $K_O$ è
definito come $\sum_{i=1}^N (P_i-O)$x$m_i \vec v_i$
Se questo sistema è in moto rigido rotatorio risulta $\vec v_i = \vec \omega$x$(P_i-O)$
e introducendola nella definizione di $K_O$ si presenta il seguente doppio prodotto vettoriale
$(P_i-O)$ x $ \vec \omega$ x $(P_i - O)$

Analizzando i moduli
$| \vec \omega $ x $(P_i-O)| =| \vec \omega|*|(P_i-O)|*sen(\alpha)=| \vec \omega|*\delta_i$
Quindi $\delta_i$ rappresenta la distanza dell'i-esimo punto dalla retta r, ovvero l'asse fisso(ho allegato la figura per
maggiore chiarezza)

Poi calcolo $|(P_i-O)$ x $\vec \omega $ x $(P_i-O)|=|(P_i-O)|*|\vec \omega $x$(P_i-O)|*sen(\beta_i)$
Quest'ultimo modulo, affiche si posssa scrivere $K_O=I \vec \omega$ dovrebbe venire uguale a $|\vec \omega|*\delta_i^2$.
Ma non mi ritrovo con questo risultato perché $\vec \v_i $ è ortogonale a $(P_i-O)$, che implica $\beta_i=\pi/2$,
il seno quindi è uguale a 1.
Sbaglio qualcosa nel ragionamento?
Grazie mille a chi avrà la pazienza di leggere tutto

[Quinzio]

No, aspetta, ferma tutto.
Il vettore momento angolare di quel punto non è fermo, ma ruota anch'esso solidale al raggio.
Quella sommatoria che riporti all'inizio non è una semplice somma algebrica, ma è la somma vettoriale di tutti i momenti angolari dei singoli punti.
Prova a guardare qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_an ... i_del_moto

[Alxxx28]

Si il momento angolare che ho indicato con $K_O$ è un vettore, dato che si ottiene da somma vettoriale,
quello l'ho dato per scontato.
Il mio problema riguarda il fatto del modulo

[edit] precisazione: con $I$ invece indico il momento d'inerzia rispetto all'asse fisso r