Chiarimento su autovettori e autospazi
salve a tutti!
volevo chiedere un chiarimento su qualche passaggio su un esercizio che chiede in sostanza di determinare gli autovettori
la matrice di partenza è $ ( ( 1 , 0 , h ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $ con h nei reali.
dopo aver detto che è diagonalizzabile per h>1/4 bisogna dire gli autovettori.
ed è qui che mi inceppo, ad esempio se si pone h=0 si ottiene la matrice (rispetto all autovalore µ=1) :
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , -1 ) ) $
da cui riscrivendo rispetto ai coefficenti dei sistemi lineari si ottien :
1x-1z=0 da cui x=z,
così riesco a ottenere il vettore $ ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $
ma sul libro come soluzioni mette anche i vettori $ ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ $ ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $
so che è una richiesta un po barbosa, ma qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi da dove li tira fuori o anche un procedimento generale? grazie mille in anticipo!!
volevo chiedere un chiarimento su qualche passaggio su un esercizio che chiede in sostanza di determinare gli autovettori
la matrice di partenza è $ ( ( 1 , 0 , h ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $ con h nei reali.
dopo aver detto che è diagonalizzabile per h>1/4 bisogna dire gli autovettori.
ed è qui che mi inceppo, ad esempio se si pone h=0 si ottiene la matrice (rispetto all autovalore µ=1) :
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , -1 ) ) $
da cui riscrivendo rispetto ai coefficenti dei sistemi lineari si ottien :
1x-1z=0 da cui x=z,
così riesco a ottenere il vettore $ ( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $
ma sul libro come soluzioni mette anche i vettori $ ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ $ ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $
so che è una richiesta un po barbosa, ma qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi da dove li tira fuori o anche un procedimento generale? grazie mille in anticipo!!
Risposte
Ma la scelta di porre h=0 è tua o imposta dal testo?
In ogni caso per h=0 hai due autovalori:
0, con molteplicità algebrica e molteplicità geometrica = 1
1, con m.a e m.g = 2
ed è qui che ti inceppi: la matrice $ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , -1 ) ) $ ha rango 1 quindi la dimensione dell'autospazio di autovalore 1 è 2, ossia dipende da due parametri (Rouchè-Capelli). Sapendo questo imposti il sistema in due equazioni, non una sola, ed ottieni $ { ( z=x ),( y=qualsiasi):} $.
Pertanto l'autospazio $ V_1 $ di autovalore 1, che ha dimensione 2, è $ <(1,0,1),(0,1,0)> $ o altrimenti $ {(alpha ,beta ,alpha ): alpha ,beta inRR} $.
Tra l'altro, se non vado errato, la matrice è diagonalizzabile per $ h> -1/4 $, non per $ h> 1/4 $ (difatti per h=0 è diagonalizzabile; la matrice è diagonale ad esempio rispetto alla base $ {(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)} $ ).
In ogni caso per h=0 hai due autovalori:
0, con molteplicità algebrica e molteplicità geometrica = 1
1, con m.a e m.g = 2
ed è qui che ti inceppi: la matrice $ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , -1 ) ) $ ha rango 1 quindi la dimensione dell'autospazio di autovalore 1 è 2, ossia dipende da due parametri (Rouchè-Capelli). Sapendo questo imposti il sistema in due equazioni, non una sola, ed ottieni $ { ( z=x ),( y=qualsiasi):} $.
Pertanto l'autospazio $ V_1 $ di autovalore 1, che ha dimensione 2, è $ <(1,0,1),(0,1,0)> $ o altrimenti $ {(alpha ,beta ,alpha ): alpha ,beta inRR} $.
Tra l'altro, se non vado errato, la matrice è diagonalizzabile per $ h> -1/4 $, non per $ h> 1/4 $ (difatti per h=0 è diagonalizzabile; la matrice è diagonale ad esempio rispetto alla base $ {(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)} $ ).
intanto grazie per la risposta tempestiva,
si purtroppo ho commesso qualche errore di battitura, ad esempio era h>-1/4 come giustamente hai detto.
inoltre si, il mio libro nelle soluzioni impone h=0,
il processo per trovare gli autovettori è quasi chiaro, anche se resta comunque il dubbio del perchè viene considerato il vettore $ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ nella base degli autovettori
grazie ancora!
si purtroppo ho commesso qualche errore di battitura, ad esempio era h>-1/4 come giustamente hai detto.
inoltre si, il mio libro nelle soluzioni impone h=0,
il processo per trovare gli autovettori è quasi chiaro, anche se resta comunque il dubbio del perchè viene considerato il vettore $ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ nella base degli autovettori
grazie ancora!
Beh il rango di quella matrice mi pare sia $1$ quindi la soluzione dipende da $3-1$ parametri liberi ovvero:
$Sol={(z,y,z) : y,z in RR}$, quindi l'autospazio mi pare sia generato da $(1,0,1),(0,1,0)$, che ottieni raccogliendo rispettivamente z ed y
$Sol={(z,y,z) : y,z in RR}$, quindi l'autospazio mi pare sia generato da $(1,0,1),(0,1,0)$, che ottieni raccogliendo rispettivamente z ed y
la penserei anchio come te, ma nelle soluzioni dell esercizio riporta come autovettori di A, di una base di R3, anche (0,0,1)
mah
grazie comunque!
mah
grazie comunque!
Beh certo, posto $h=0$ si ha:
$A=((1,0,0),(0,1,0),(1,0,0))$
$det(A-\lambda*I)=| ((1-\lambda),0,0),(0,(1-\lambda),0),(1,0,(-\lambda)) |=(1-\lambda)^2*(-\lambda)$
Tu hai fatto il conto per $\lambda=1$, ora ti manca $\lambda=0$ e trovi l'altro autovettore no?
$A=((1,0,0),(0,1,0),(1,0,0))$
$det(A-\lambda*I)=| ((1-\lambda),0,0),(0,(1-\lambda),0),(1,0,(-\lambda)) |=(1-\lambda)^2*(-\lambda)$
Tu hai fatto il conto per $\lambda=1$, ora ti manca $\lambda=0$ e trovi l'altro autovettore no?
ok giusto,
però se pongo il caso con $ lambda $ =0
ottengo la matrice $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $
e ora direi che ha rango=2, quindi la dimensione dell'autospazio è dim=1
di conseguenza dovrei avere come sistema $ { ( x=0 ),( y=qualsiasi ),( z=qualsiasi ):} $ e da lì si prende
$ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ , per compleatere ad R3 la base degli autovettori dei due autospazi, giusto?
però se pongo il caso con $ lambda $ =0
ottengo la matrice $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $
e ora direi che ha rango=2, quindi la dimensione dell'autospazio è dim=1
di conseguenza dovrei avere come sistema $ { ( x=0 ),( y=qualsiasi ),( z=qualsiasi ):} $ e da lì si prende
$ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ , per compleatere ad R3 la base degli autovettori dei due autospazi, giusto?
Riducendo per righe la matrice ( basta un passaggio), trovi giustamente che ha rango 2 quindi la soluzione dipende da un solo parametro e $y=0$ non $in RR$ 
$ { ( x=0 ),( y=0 ),( z in RR ):} $
Quindi $Sol={(0,0,z) : z in RR}$ da cui $(0,0,1)$
$ { ( x=0 ),( y=0 ),( z in RR ):} $
Quindi $Sol={(0,0,z) : z in RR}$ da cui $(0,0,1)$
top!
giusto, perfetto grazie mille ora ci sono
giusto, perfetto grazie mille ora ci sono
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