Chiarimento su autovalori

[fra017]

scusate sto studiando gli autovalori di autospazi ma ho dei dubbi..intanto se il polinomio caratteristico mi viene che si annulla per $\lambda=1$ e $\lambda=-1$ devo considerare i 2 valori distinti oppure uno solo con molteplicità algebrica 2? e poi se io sostituisco il $\lambda$ nella matrice con il sistema per trovare l'autospazio il 99% delle volte mi si annulla tutto e viene $x_1=x_2=0$ come trovo così l'autospazio?

[mistake89]

Guarda detto così non si capisce molto ed è difficile aiutarti.
Vuoi fare un esempio pratico?

Comunque, la molteplicità algebrica di un autovalore è la molteplicità che assume come radice del polinomio caratteristico. Se $lambda=1$ è radice "una sola volta" del polinomio caratteristico allora esso avrà molteplicità $1$, se lo annulla 2 volte avrà molteplicità $2$ eccetera...
$lambda=1$ e $lambda=-1$ sono due radici (e quindi autovalori) distinti. Risalire da questo fatto alle relative molteplicità senza il polinomio è impossibile.

Quanto alla seconda parte della domanda c'è sicuramente qualche errore di calcolo frequente, in quanto $1<= dim(V_lambda)<=h(lambda)$, dove $dim(V_lambda)$ è la molteplicità geometrica, mentre $h(lambda)$ è quella algebrica.

Ti invito comunque a fare un esempio concreto!