Chiarimento prodotto scalare tra vettori e proiezione di vettori
Ciao a tutti, ho provato a leggere un pò dappertutto, sarà la mia ignoranza sicuramente il problema ... di fatto non ho capito una cosa (una sola ... ?!?!?).
L'obiettivo è quello di trovare un vettore che sia la proiezione di un vettore di partenza F su un versore n.
Cerco di scrivere quello che penso (ditemi poi se è giusto per favore):
- il prodotto scalare tra 2 vettori è uno scalare che rappresenta in modulo del primo per il modulo del secondo per il coseno dell'angolo tra i 2 vettori ... giusto?
- qualora io volessi esprimere in termini vettoriali la proiezione di F su n non devo far altro che scrivere un vettore di questo tipo:
$vec(F) *vec(n) = IFI*InI*cos(alpha ) * i$
$vec(F) *vec(n) = IFI*InI*cos(alpha ) * j$
$vec(F) *vec(n) = IFI*InI*cos(alpha ) * k$
dove ogni riga è un elemento del vettore e i,j,k sono i versori di n (modulo di n=1 essendo un versore).
Spero di essere stato chiaro
Grazie
L'obiettivo è quello di trovare un vettore che sia la proiezione di un vettore di partenza F su un versore n.
Cerco di scrivere quello che penso (ditemi poi se è giusto per favore):
- il prodotto scalare tra 2 vettori è uno scalare che rappresenta in modulo del primo per il modulo del secondo per il coseno dell'angolo tra i 2 vettori ... giusto?
- qualora io volessi esprimere in termini vettoriali la proiezione di F su n non devo far altro che scrivere un vettore di questo tipo:
$vec(F) *vec(n) = IFI*InI*cos(alpha ) * i$
$vec(F) *vec(n) = IFI*InI*cos(alpha ) * j$
$vec(F) *vec(n) = IFI*InI*cos(alpha ) * k$
dove ogni riga è un elemento del vettore e i,j,k sono i versori di n (modulo di n=1 essendo un versore).
Spero di essere stato chiaro
Grazie
Risposte
Domanda: il prodotto scalare restituisce un vettore o uno scalare?
"Bokonon":
Domanda: il prodotto scalare restituisce un vettore o uno scalare?
uno scalare per definizione .... di prodotto scalare
"Cla1608":
uno scalare per definizione .... di prodotto scalare
E come hai fatto a tirarne fuori un vettore allora?
"Bokonon":
[quote="Cla1608"]
uno scalare per definizione .... di prodotto scalare
E come hai fatto a tirarne fuori un vettore allora?[/quote]
Vorrei avere un vettore con modulo quello e parallelo a n
Ok, ma tu hai scritto che uno scalare è uguale non solo ad un vettore ma a ben tre vettori diversi...che non hanno nulla a che vedere col versore.
Vuoi trovare la proiezione ortogonale di $vec(F)$ su $vec(n)$, ovvero $||vec(F)||cos(alpha)vec(n)$ dove $vec(n)$ è un versore?
Vuoi trovare la proiezione ortogonale di $vec(F)$ su $vec(n)$, ovvero $||vec(F)||cos(alpha)vec(n)$ dove $vec(n)$ è un versore?
"Bokonon":
Ok, ma tu hai scritto che uno scalare è uguale non solo ad un vettore ma a ben tre vettori diversi...che non hanno nulla a che vedere col versore.
Vuoi trovare la proiezione ortogonale di $vec(F)$ su $vec(n)$, ovvero $||vec(F)||cos(alpha)vec(n)$ dove $vec(n)$ è un versore?
Esatto, voglio fare questo, mi spiego meglio. Col prodotto scalare tra i 2 vettori di partenza trovo uno scalare, questo scalare io l ho interpretato (essendo n un versore e quindi di modulo unitario) come il modulo del vettore proiettato sul versore .... pertanto se voglio esprimere F proiettato come vettore dovrei avere le seguenti 3 componenti di F
$ IFI*InI*cos(alpha ) * i$
$ IFI*InI*cos(alpha ) * j$
$ IFI*InI*cos(alpha ) * k$
Dove (se non si capisce)
$IFI$ modulo di F
$InI$ modulo di n (=1)
Di nuovo con le tre componenti...
Ragioniamo in modo semplice. Disegnamo due vettori sul foglio $vec(F)$ e $vec(n)$ (un versore).
Non ci interessa quante componenti abbiano i vettori, possono essere $n$. Il problema è puramente geometrico.
Infatti, la proiezione ortogonale starà sempre sul piano dove stanno i due vettori (che possono esserne una base). Quindi un foglio di carta è ideale.
La proiezione ortogonale è il vettore $vec(x)$ che è un multiplo di $kvec(n)$, ovvero E' il versore allungato o accorciato. Quale sarà la nuova norma di $||kvec(n)||$? La risposta è ovviamente $k=||vec(x)||$.
Quanto vale $||vec(x)||$? Sappiamo che l'angolo fra i due vettori è $alpha$ e sappiamo per definizione che $cos(alpha)=(||vec(x)||)/(||vec(F)||)$ per cui $||vec(x)||=cos(alpha)||vec(F)||$
Quindi la nostra proiezione ortogonale è il vettore $cos(alpha)||vec(F)||vec(n)$
Ragioniamo in modo semplice. Disegnamo due vettori sul foglio $vec(F)$ e $vec(n)$ (un versore).
Non ci interessa quante componenti abbiano i vettori, possono essere $n$. Il problema è puramente geometrico.
Infatti, la proiezione ortogonale starà sempre sul piano dove stanno i due vettori (che possono esserne una base). Quindi un foglio di carta è ideale.
La proiezione ortogonale è il vettore $vec(x)$ che è un multiplo di $kvec(n)$, ovvero E' il versore allungato o accorciato. Quale sarà la nuova norma di $||kvec(n)||$? La risposta è ovviamente $k=||vec(x)||$.
Quanto vale $||vec(x)||$? Sappiamo che l'angolo fra i due vettori è $alpha$ e sappiamo per definizione che $cos(alpha)=(||vec(x)||)/(||vec(F)||)$ per cui $||vec(x)||=cos(alpha)||vec(F)||$
Quindi la nostra proiezione ortogonale è il vettore $cos(alpha)||vec(F)||vec(n)$
"Bokonon":
Di nuovo con le tre componenti...
Ragioniamo in modo semplice. Disegnamo due vettori sul foglio $vec(F)$ e $vec(n)$ (un versore).
Non ci interessa quante componenti abbiano i vettori, possono essere $n$. Il problema è puramente geometrico.
Infatti, la proiezione ortogonale starà sempre sul piano dove stanno i due vettori (che possono esserne una base). Quindi un foglio di carta è ideale.
La proiezione ortogonale è il vettore $vec(x)$ che è un multiplo di $kvec(n)$, ovvero E' il versore allungato o accorciato. Quale sarà la nuova norma di $||vec(n)||$? La risposta è ovviamente $k=||vec(x)||$.
Quanto vale $||vec(x)||$? Sappiamo che l'angolo fra i due vettori è $alpha$ e sappiamo per definizione che $cos(alpha)=(||vec(x)||)/(||vec(F)||)$ per cui $||vec(x)||=cos(alpha)||vec(F)||$
Quindi la nostra proiezione ortogonale è il vettore $cos(alpha)||vec(F)||vec(n)$
Forse ho scritto male ma intendevo proprio questo (solo che l' ho scritto per componenti dove cos alfa è la angolo tra n e F)
Non ho parole...non esistono quelle componenti!
Non solo sono irrelevanti (perchè è un problema geometrico) ma la direzione della proiezione è data dal versore non da $vec(F)$. Tutto ciò che interessa è sapere di quanto verrà allungato o accorciato il versore in funzione della magnitudine $||vec(F)||$ e dell'angolo fra i due vettori. Punto.
Non solo sono irrelevanti (perchè è un problema geometrico) ma la direzione della proiezione è data dal versore non da $vec(F)$. Tutto ciò che interessa è sapere di quanto verrà allungato o accorciato il versore in funzione della magnitudine $||vec(F)||$ e dell'angolo fra i due vettori. Punto.
"Bokonon":
Non ho parole...non esistono quelle componenti!
Non solo sono irrelevanti (perchè è un problema geometrico) ma la direzione della proiezione è data dal versore non da $vec(F)$. Tutto ciò che interessa è sapere di quanto verrà allungato o accorciato il versore in funzione della magnitudine $||vec(F)||$ e dell'angolo fra i due vettori. Punto.
Se devo sommare questo vettore (la proiezione) con un altro vettore generico , come faccio?
"Cla1608":
Se devo sommare questo vettore (la proiezione) con un altro vettore generico , come faccio?
Usando la regola del parallelogramma?!?
Perchè non fai il caso generale?
Dimentica l'angolo e ricava la formula di proiezione usando solo vettori geometrici su un foglio di carta.
Questo è tutto ciò di cui hai bisogno. Trova la proiezione $P_(vec(a))(vec(b))$, ovvero $vec(b)$ su $vec(a)$
provo a spiegarmi meglio nell immagine sottostante:
per descrivere il vettore proiezione è corretto scrivere come ho scritto in fondo??
per descrivere il vettore proiezione è corretto scrivere come ho scritto in fondo??
Prendiamo un versore generico in $RR^3$:
$ vec(n)=( ( n_x ),( n_y ),( n_z ) ) =n_xvec(i)+n_yvec(j)+n_zvec(k) $
tale che $||vec(n)||=sqrt(n_x^2+n_y^2+n_z^2)=1$
Questo è il nostro versore.
Ciò che hai scritto tu:
$ vec(n)=( ( vec(i) ),( vec(j) ),( vec(k) ) )$
non sta ne in cielo ne in terra.
$ vec(n)=( ( n_x ),( n_y ),( n_z ) ) =n_xvec(i)+n_yvec(j)+n_zvec(k) $
tale che $||vec(n)||=sqrt(n_x^2+n_y^2+n_z^2)=1$
Questo è il nostro versore.
Ciò che hai scritto tu:
$ vec(n)=( ( vec(i) ),( vec(j) ),( vec(k) ) )$
non sta ne in cielo ne in terra.
"Bokonon":
Prendiamo un versore generico in $RR^3$:
$ vec(n)=( ( n_x ),( n_y ),( n_z ) ) =n_xvec(i)+n_yvec(j)+n_zvec(k) $
tale che $||vec(n)||=sqrt(n_x^2+n_y^2+n_z^2)=1$
Questo è il nostro versore.
Ciò che hai scritto tu:
$ vec(n)=( ( vec(i) ),( vec(j) ),( vec(k) ) )$
non sta ne in cielo ne in terra.
pensandoci bene ... ma proprio bene ho scritto una cagata pazzesca ... sarebbe bastato farsi il calcolo dei moduli ... e infatti non torna, scusami tanto!!! ho ripreso in mano queste cose dopo più di 13 anni, c ho l esaurimento galoppante
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