Chiarimento in topologia
Salve sto studiando topologia.
Sia $GL(n,R)$ l'insieme delle matrici invertibili possiamo affermare che sono uno spazio topologico rispetto alla topologia discreta, se consideriamo gli aperti le stringhe formate dalle componenti.
Ora se considero $R^(n^2)$ uno spazio topologico l'asserto è dimostrato automaticamente. Domanda sciocca... L'unione di aperti in $R^(n^2)$ come li devo considerare. Cioè l'unione di stringhe lunghe $n^2$ che sono ??
Sia $GL(n,R)$ l'insieme delle matrici invertibili possiamo affermare che sono uno spazio topologico rispetto alla topologia discreta, se consideriamo gli aperti le stringhe formate dalle componenti.
Ora se considero $R^(n^2)$ uno spazio topologico l'asserto è dimostrato automaticamente. Domanda sciocca... L'unione di aperti in $R^(n^2)$ come li devo considerare. Cioè l'unione di stringhe lunghe $n^2$ che sono ??
Risposte
"squalllionheart":
Sia $GL(n,R)$ l'insieme delle matrici invertibili possiamo affermare che sono uno spazio topologico rispetto alla topologia discreta, se consideriamo gli aperti le stringhe formate dalle componenti.
Scusa ma non capisco: quando dici che metti la topologia discreta hai già detto chi sono gli aperti.. e, cosa significa che gli aperti sono stringhe?
Potresti scrivere bene le definizioni che ti hanno dato?
Martin al mio aiuto come al solito 
Thorpe-Singer afferma:
"Mettendo in fila gli elementi di ciascuna matrice, $GL(n,R)$ può essere considerato come un sottoinsieme di $R^(n^2)$ e con la topologia relativa uno spazio topologico"
1) Gli aperti di $R^(n^2)$ chi sono ?
2) Le intersezione chi sono?
3) Se considero le le strighe come affermano Thorpe-Singer delle matrici di $GL(n,R)$ le intersezioni chi sono??
Thorpe-Singer afferma:
"Mettendo in fila gli elementi di ciascuna matrice, $GL(n,R)$ può essere considerato come un sottoinsieme di $R^(n^2)$ e con la topologia relativa uno spazio topologico"
1) Gli aperti di $R^(n^2)$ chi sono ?
2) Le intersezione chi sono?
3) Se considero le le strighe come affermano Thorpe-Singer delle matrici di $GL(n,R)$ le intersezioni chi sono??
Ma niente, semplicemente osservi che l'insieme delle matrici quadrate di ordine n a entrate reali (denotato $M_n(RR)$) è uno spazio vettoriale su $RR$ di dimensione $n^2$, ed è quindi isomorfo come $RR$-spazio vettoriale a $RR^{n^2}$. Quindi scegli un isomorfismo $f:M_n(RR) cong RR^{n^2}$ e definisci la topologia su $M_n(RR)$ dicendo che $U subseteq M_n(RR)$ è aperto per definizione se $f(U)$ è un aperto di $RR^{n^2}$, dove $RR^{n^2}$ ha la topologia solita (cioè la topologia prodotto avendo dotato $RR$ della topologia solita).
Nella domanda 1) stai chiedendo chi sono gli aperti di $RR^m$ quando $m$ è un naturale? Sono i 'soliti' aperti
.. quelli che ammettono le palle aperte come prebase.
Nelle domande 2) e 3) stai chiedendo chi sono le intersezioni di aperti in $RR^m$? Beh, sono intersezioni di aperti, che c'è da dire?
Cioè, è come chiedere chi sono le intersezioni di aperti in $RR$, tu che risponderesti?
Nella domanda 1) stai chiedendo chi sono gli aperti di $RR^m$ quando $m$ è un naturale? Sono i 'soliti' aperti
.. quelli che ammettono le palle aperte come prebase.Nelle domande 2) e 3) stai chiedendo chi sono le intersezioni di aperti in $RR^m$? Beh, sono intersezioni di aperti, che c'è da dire?
Cioè, è come chiedere chi sono le intersezioni di aperti in $RR$, tu che risponderesti?
Dice con topologia relativa e le matrici invertibili a coefficenti su $RR$...
Usando la relativa so che gli aperti di $GL(n,RR)$ si formano come intersezione di un aperto di $RR^(n^2)$ con un elemento di $GL(n,RR)$.
Ma se considero la topologia standard cioè quella degli aperti come palle, nn capisco chi è chi sono questi fantomatici aperti di $GL(n,RR)$.
Usando la relativa so che gli aperti di $GL(n,RR)$ si formano come intersezione di un aperto di $RR^(n^2)$ con un elemento di $GL(n,RR)$.
Ma se considero la topologia standard cioè quella degli aperti come palle, nn capisco chi è chi sono questi fantomatici aperti di $GL(n,RR)$.
"squalllionheart":
Ma se considero la topologia standard cioè quella degli aperti come palle, nn capisco chi è chi sono questi fantomatici aperti di $GL(n,RR)$.
Non credo che esista una descrizione più esplicita di quella che tu stessa hai dato:
"squallionheart":
Usando la relativa so che gli aperti di $GL(n,RR)$ si formano come intersezione di un aperto di $RR^(n^2)$ con un elemento di $GL(n,RR)$.
Credo che quell'esempio sia stato fatto solo per mostrarti che $GL(n,RR)$ può essere dotato di una topologia. Non pretendeva troppo.
Mi pare che tu stia cercando un'idea intuitiva di tale topologia. Beh, intanto osserva che essa dipende dall'isomorfismo che scegli tra $M_n(RR)$ e $RR^{n^2}$ (potresti prendere i coefficienti per righe o per colonne o per diagonali o in una quantità di altri modi, ed ognuno di questi modi corrisponde ad un isomorfismo possibile). E poi osserva che già si fa un grande sforzo a pensare alle matrici come vettori, figuriamoci a parlare di vettori invertibili in quanto matrici (rispetto all'isomorfismo scelto). Ad ancor maggior ragione immaginarsi gli aperti dell'insieme delle matrici invertibili è pressoché impossibile.
Ma non escludo che qualcun altro riesca a darti un'idea migliore di quella che ti ho dato io
Forse per avere un'idea il più possibile intuitiva puoi provare a studiare il caso $n=2$. In tal caso $GL(2,RR)=\{((x,y),(z,w))\ |\ xw-yz ne 0\}$, quindi se scegli l'isomorfismo $M_2(RR) to RR^4$, $((x,y),(z,w)) to ((x),(y),(z),(w))$ hai che $GL(2,RR)$ è identificato col sottoinsieme di $RR^4$ dei vettori $((x),(y),(z),(w))$ tali che $xw-yz ne 0$, quindi è il complementare della "quadrica quadrimensionale" definita dall'equazione $xw=yz$. Gli aperti di $GL(2,RR)$ quindi in questo particolare caso (avendo scelto quindi questo particolare isomorfismo!) sono gli aperti di $RR^4$ intersecati col complementare della quadrica di cui sopra. Non che questo aiuti l'intuizione
Sono come San Tommaso se nn vedo con gli occhi (nel nostro caso dell'immaginazione) non credo. Grazie.
Sicuramente meglio.
Sicuramente meglio.
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