Chiarimento dubbio su base e immagine in un endomorfismo

[acolombo1]

E' corretto affermare che, per il teorema delle dimensioni, in un endomorfismo ciò che non è nucleo è immagine e viceversa?

[Vicia]

Non capisco che cosa intendi. Non penso abbia molto senso quest'affermazione. Per il teorema della dimensione tu sai che la somma delle dimensioni del nucleo e dell'immagine ti danno la dimensione del tuo spazio. Ma non capisco cosa intendi

[Shocker1]

No è falso, almeno per come l'ho interpretata: tu dici che visto che $dimV = dimKerf + dimImf$ allora ogni $v \in V$ o sta nel nucleo o sta nell'immagine. Falso, considera: $f : \mathbb{R^3} \to \mathbb{R^3}$ tale che $f(e_1) = e_1, f(e_2) = e_2, f(e_3) = 0$, il vettore $e_1 + e_3$ non sta né nel nucleo né nell'immagine.