Chiarimento Diagonalizzazione
Salve, non ho ben capito come effettuare la diagonalizzazione (il libro non mi aiuta), per fortuna ho trovato un esercizio che ho fatto con la prof.:
è lo studio del seguente endomorfismo $f: RR_3[x] -> RR_3[x]$
$a_0+a_1x+a_2 x^2+a_3 x^3 -> (a_0+a_3)+a_2x+a_1x^2+(a_0+a_3)x^3$
trovo la matrice associata rispetto alla base canonica, nucleo ed immagine e arrivo al punto in cui dice di diagonalizzare $f$ (se possibile ovviamente)
quindi procedo calcolando il determinante del polinomio caratteristico ($A-lambdaI_4$) e trovo gli autovalori che sono $0,1,-1,2.$
allora dato che esistono 4 autovalori distinti $f$ è diagonalizzabile, fino a qua ci sono, ora devo diagonalizzare:
$V(0), V(1), V(-1), V(2)$
$V(0) = kerf= <1-x^3>$
...
$B_(V(0)) uu B_(V(1)) uu B_(V(-1)) uu B_(V(2)) = B_(RR_3[x])$
1) non capisco come calcola V(0) [RISOLTO]
2) per $V(-1)$ e $V(2)$ dovrei fare il $ker(A-lambdaI)$ sostituendo lambda? [ERRATO]
3) dopo aver trovato tutti i valori di $V(lambda)$, sono una rappresentazione diagonale di $f$?
Spero in un vostro aiuto. Grazie per qualsiasi risposta! Ciao
è lo studio del seguente endomorfismo $f: RR_3[x] -> RR_3[x]$
$a_0+a_1x+a_2 x^2+a_3 x^3 -> (a_0+a_3)+a_2x+a_1x^2+(a_0+a_3)x^3$
trovo la matrice associata rispetto alla base canonica, nucleo ed immagine e arrivo al punto in cui dice di diagonalizzare $f$ (se possibile ovviamente)
quindi procedo calcolando il determinante del polinomio caratteristico ($A-lambdaI_4$) e trovo gli autovalori che sono $0,1,-1,2.$
allora dato che esistono 4 autovalori distinti $f$ è diagonalizzabile, fino a qua ci sono, ora devo diagonalizzare:
$V(0), V(1), V(-1), V(2)$
$V(0) = kerf= <1-x^3>$
...
$B_(V(0)) uu B_(V(1)) uu B_(V(-1)) uu B_(V(2)) = B_(RR_3[x])$
1) non capisco come calcola V(0) [RISOLTO]
2) per $V(-1)$ e $V(2)$ dovrei fare il $ker(A-lambdaI)$ sostituendo lambda? [ERRATO]
3) dopo aver trovato tutti i valori di $V(lambda)$, sono una rappresentazione diagonale di $f$?
Spero in un vostro aiuto. Grazie per qualsiasi risposta! Ciao
Risposte
Mi gira la testa: se tu ci facessi caso l'autospazio dell'autovalore nullo di un endomorfismo lineare è sempre il nucleo di tale endomorfismo lineare.
Spero di non aver disegnato le travegole che vedo.
Per il resto, adesso, meglio che non dica nulla!
Spero di non aver disegnato le travegole che vedo.
Per il resto, adesso, meglio che non dica nulla!
"j18eos":
Mi gira la testa: se tu ci facessi caso l'autospazio dell'autovalore nullo di un endomorfismo lineare è sempre il nucleo di tale endomorfismo lineare.
veramente non lo sapevo
ho appena cominciato a diagonalizzare."j18eos":
Per il resto, adesso, meglio che non dica nulla!
mi hai chiarito il primo punto, non è poco per me
thanks!
Per il punto 2 non c'entra nulla il kernel, usa la definizione di autospazio di dato autovalore!
Credo di esserci arrivato!! 
non sto più nella pelle 
allora secondo la definizione: $A*v_k = lambda_k *v_k$
$ A=( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 1 ) ) $
$V(0)=1-x^3$
$V(1)={ ( ( 0 , gamma ),(gamma , 0 ) ) | gamma in RR_3[x]}$
$V(-1)={ ( ( 0 , -gamma ),(gamma , 0 ) ) | gamma in RR_3[x]}$
$V(2)={ ( ( alpha, 0 ),(0 , alpha ) ) | alpha in RR_3[x]}$
prendendo una base per ognuno:
$B_(V(0))=<1-x^3>$
$B_(V(1))=$
$B_(V(-1))=<-x+x^2>$
$B_(V(2))=<1+x^3>
che fanno una base di $RR_3[x] = (1-x^3) + (x+x^2) + (-x+x^2) + (1+x^3)$
quindi la matrice $P =( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 0 , 1 , 1, 0 ),( -1, 0 , 0 , 1 ) ) $, se voglio trovare una rappresentazione diagonale di $f$ devo risolvere $P^-1AP$
questo è sufficiente per rispondere alla domanda "diagonalizzare $f$"?
ti prego dimmi che è giusto
, ci ho impiegato tutto il pomeriggio
attendo con ansia il tuo verdetto
, ciao 
non sto più nella pelle allora secondo la definizione: $A*v_k = lambda_k *v_k$
$ A=( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 1 ) ) $
$V(0)=1-x^3$
$V(1)={ ( ( 0 , gamma ),(gamma , 0 ) ) | gamma in RR_3[x]}$
$V(-1)={ ( ( 0 , -gamma ),(gamma , 0 ) ) | gamma in RR_3[x]}$
$V(2)={ ( ( alpha, 0 ),(0 , alpha ) ) | alpha in RR_3[x]}$
prendendo una base per ognuno:
$B_(V(0))=<1-x^3>$
$B_(V(1))=
$B_(V(-1))=<-x+x^2>$
$B_(V(2))=<1+x^3>
che fanno una base di $RR_3[x] = (1-x^3) + (x+x^2) + (-x+x^2) + (1+x^3)$
quindi la matrice $P =( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 0 , 1 , 1, 0 ),( -1, 0 , 0 , 1 ) ) $, se voglio trovare una rappresentazione diagonale di $f$ devo risolvere $P^-1AP$
questo è sufficiente per rispondere alla domanda "diagonalizzare $f$"?
ti prego dimmi che è giusto
, ci ho impiegato tutto il pomeriggioattendo con ansia il tuo verdetto
, ciao
Se per [tex]$P$[/tex] tu intendessi la matrice mediante la quale diagonalizzi la matrice [tex]$A$[/tex] associata ad [tex]$f$[/tex] allora dovresti procedere, perché i tuoi conti mi sembrano lunghi, se tu ti trovassi una matrice diagonale in cui compaiono sulla diagonale solo gli autovalori allora saresti apposto.
Altrimenti rivedremo un pò il tutto!
Attenzione che quando parli di base parli di un insieme e non dello spazio da esso generato, te lo dico perché non hai indicato [tex]$V(0)$[/tex] come spazio generato dal suo autovettore [tex]$1-x^3$[/tex].
Altrimenti rivedremo un pò il tutto!
"12Aquila":Ma che significa?
...[tex]$\mathbb{R}_3[x]=(1-x^3)+(x+x^2)+(-x+x^2)+(1+x^3)$[/tex]...
Attenzione che quando parli di base parli di un insieme e non dello spazio da esso generato, te lo dico perché non hai indicato [tex]$V(0)$[/tex] come spazio generato dal suo autovettore [tex]$1-x^3$[/tex].
"j18eos":Ma che significa?
[quote="12Aquila"]...[tex]$\mathbb{R}_3[x]=(1-x^3)+(x+x^2)+(-x+x^2)+(1+x^3)$[/tex]...
[/quote]volevo scrivere l'unione delle basi $[B_(V(0)) uu B_(V(1)) uu B_(V(-1)) uu B_(V(2)) = B_(RR_3[x])]$
"j18eos":
Attenzione che quando parli di base parli di un insieme e non dello spazio da esso generato, te lo dico perché non hai indicato [tex]$V(0)$[/tex] come spazio generato dal suo autovettore [tex]$1-x^3$[/tex].
$V(0)={ ( ( alpha, 0 ),(0 , -alpha ) ) | alpha in RR_3[x]}$ è corretto?
$P$ è la matrice di passaggio (l'ho ottenuta dall'insieme dei vettori $V(lambda)$)
ho calcolato che $det P=4$ $->$ $P^(-1) =( ( 1/2 , 0 , 0 , -1/2 ),( 0 , 1/2 , 1/2 , 0),( 0 , -1/2 , 1/2 , 0 ),( 1/2 , 0 , 0 , 1/2 ) ) $ e sto risolvendo $P^(-1)*A*P$ [ho un mal di testa incredibile
]
Non conosco la notazione matriciale associata ad un polinomio!
Per quanto riguarda il mal di testa: "e me pare che ce vò"!
Per quanto riguarda il mal di testa: "e me pare che ce vò"!
incredibileee!!! $P^(-1)*A*P= ( ( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1, 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $ 
dopo quell'infinità di calcoli è corretto!!! 
(perdona l'euforia)
semplicemente ho preso il vettore $1-x^3$ rispetto alla base canonica: $a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3x^3$ che sarebbe -> $(1, 0, 0, -1)$
ed effettuato una combinazione lineare (con un solo vettore): $alpha(1, 0, 0, -1)$ e quindi $V(0) = { ( ( alpha , 0 ),( 0 , -alpha ) ) | alpha in RR_3[x] }$
beh in effetti ho scritto 4 pagine di calcoli
Grazie ancora per l'assistenza , alla prossima. Ciao
dopo quell'infinità di calcoli è corretto!!!
(perdona l'euforia)
"j18eos":
Non conosco la notazione matriciale associata ad un polinomio!
semplicemente ho preso il vettore $1-x^3$ rispetto alla base canonica: $a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3x^3$ che sarebbe -> $(1, 0, 0, -1)$
ed effettuato una combinazione lineare (con un solo vettore): $alpha(1, 0, 0, -1)$ e quindi $V(0) = { ( ( alpha , 0 ),( 0 , -alpha ) ) | alpha in RR_3[x] }$
"j18eos":
Per quanto riguarda il mal di testa: "e me pare che ce vò"!
beh in effetti ho scritto 4 pagine di calcoli
Grazie ancora per l'assistenza
, alla prossima. Ciao
Prego, di nulla!
ATTENZIONE: la base canonica è il sistema libero di vettori [tex]$\{1;x;x^2;x^3\}$[/tex].
ATTENZIONE: la base canonica è il sistema libero di vettori [tex]$\{1;x;x^2;x^3\}$[/tex].
"j18eos":
Prego, di nulla!
ATTENZIONE: la base canonica è il sistema libero di vettori [tex]$\{1;x;x^2;x^3\}$[/tex].
si si, hai ragione, l'ho confuso a scrivere, ero un pò troppo felice, non so se si notava
Te lo dico perché sono errori da bocciatura, a mio parere.
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