Chiarimento applicazione composta
Salve, in questo testo ho trovato
Ora io avevo imparato a lezione e anche da altri testi in rete che la matrice ad essere messa per ultima corrisponde all'applicazione lineare che "agisce per prima". Cioè $g(f(x)) = g f = G*F$ dove G è la matrice che rappresenta l'applicazione g, ecc...
Quindi in quel testo c'è scritto che prima agisce $M$ , poi $A$ e infine $M^(-1)$. $M$ porta i vettori da $B$ a $B'$, poi agisce A che però prende vettori nella base $B$ e non in $B'$, poi $M^(-1)" porta $B' -> B$, ma $A$ restituisce vettori in $B$ e non in $B'$.
Secondo me o la formula è $A = M*A*M^(-1)$ oppure M porta $B' -> B$
Voi che ne dite? La cosa strana è che in un esempio messo dopo gli "riesce" proprio come ha scritto lui ....
Teorema 30.12
Si consideri un endomorfismo f : V → V di uno spazio vettoriale V di dimensione finita. Sia A la matrice rappresentativa di f rispetto
alla base formata dai vettori $B={e_1 , e_2 , . . ., e_n}$ . Sia A' la matrice rappresentativa
di f rispetto alla base formata dai vettori $B'={e'_1, e'_2, . . ., e'_n}$ . Sia M la matrice di
passaggio dalla base formata dai vettori $e_1, e_2, . . ., e_n$ alla base formata dai
vettori $e'_1 ,e'_2 , . . .,e'_n$ . Si ha: $A' = M^(-1)*A*M$.
Ora io avevo imparato a lezione e anche da altri testi in rete che la matrice ad essere messa per ultima corrisponde all'applicazione lineare che "agisce per prima". Cioè $g(f(x)) = g f = G*F$ dove G è la matrice che rappresenta l'applicazione g, ecc...
Quindi in quel testo c'è scritto che prima agisce $M$ , poi $A$ e infine $M^(-1)$. $M$ porta i vettori da $B$ a $B'$, poi agisce A che però prende vettori nella base $B$ e non in $B'$, poi $M^(-1)" porta $B' -> B$, ma $A$ restituisce vettori in $B$ e non in $B'$.
Secondo me o la formula è $A = M*A*M^(-1)$ oppure M porta $B' -> B$
Voi che ne dite? La cosa strana è che in un esempio messo dopo gli "riesce" proprio come ha scritto lui ....
Risposte
Se $A'=M^(-1)*A*M$ allora:
$M$: matrice del cambiamento di base da $B'$ a $B$.
$A$: matrice dell'endomorfismo rispetto alla base $B$.
$M^(-1)$: matrice del cambiamento di base da $B$ a $B'$.
$A'$: matrice dell'endomorfismo rispetto alla base $B'$.
oppure:
$M$: matrice del cambiamento di base da $B$ a $B'$.
$A$: matrice dell'endomorfismo rispetto alla base $B'$.
$M^(-1)$: matrice del cambiamento di base da $B'$ a $B$.
$A'$: matrice dell'endomorfismo rispetto alla base $B$.
anche se le notazioni sono più consistenti nel primo caso. Il tuo ragionamento è corretto, sei sicuro di quell'esempio?
$M$: matrice del cambiamento di base da $B'$ a $B$.
$A$: matrice dell'endomorfismo rispetto alla base $B$.
$M^(-1)$: matrice del cambiamento di base da $B$ a $B'$.
$A'$: matrice dell'endomorfismo rispetto alla base $B'$.
oppure:
$M$: matrice del cambiamento di base da $B$ a $B'$.
$A$: matrice dell'endomorfismo rispetto alla base $B'$.
$M^(-1)$: matrice del cambiamento di base da $B'$ a $B$.
$A'$: matrice dell'endomorfismo rispetto alla base $B$.
anche se le notazioni sono più consistenti nel primo caso. Il tuo ragionamento è corretto, sei sicuro di quell'esempio?
Nel link che ho postato è a pagina 505 (sia il teorema che l'esempio), avevo fatto un po' di conti con matlab e i calcoli venivano giusti (così come scritto da lui). Se volete dargli un'occhiata voi ...
Ho controllato le pagine che hai indicato. Per esempio, quando dice: "Determiniamo la matrice di passaggio dalla base canonica alla base di $RR^2$ formata dai vettori $e_1'=(1; 2)$ e $e_2'=(1;-1)$." di fatto scrive proprio la matrice che rende il servizio opposto (sei riuscito a provarlo?). Per questo tutto torna. Quindi, mentre a livello di ragionamento non ci sono problemi in quanto il testo esegue gli stessi passaggi che avresti fatto tu, a livello di definizioni sono totalmente in disaccordo nel chiamare quella matrice in quel modo. Credo che anche l'autore lo sarebbe.
Si anche a pagina 504 dice:
"Consideriamo lo spazio vettoriale $RR^3[x]$, la sua base canonica $q_1(x) := 1$, $q_2(x) := x$, $q_3(x) := x^2$ e la base formata dai polinomi $p_1(x):=1+x+x^2$, $p_2(x) := 1+x$, $p_3(x):=1$. Per trovare la matrice M di passaggio dalla base canonica alla seconda base dobbiamo esprimere ciascuno dei polinomi $p_1(x)$, $p_2(x)$ e $p_3(x)$ come combinazione lineare dei polinomi $q_1(x)$ , $q_2(x)$, $q_3(x)$"
ma in realtà questa matrice fa l'esatto opposto. Infatti il risultato è:
$M=((1,1,1),(1,1,0),(1,0,0))$
Se consideriamo il vettore $V=[3 4 5]^t$ scritto nella base canonica, così come dice nel testo il vettore delle cordinate per la seconda base dovrebbe essere dato da $M*V$. Ma
$M*V=[12 7 3]^t=22+19x+12x^2=[22 19 12]$
Se invece assumiamo che V fosse stato scritto nella seconda base, avremmo $[3 4 5]=12+7x+3x^2=[12 7 3]$ e tutto torna. Quindi M porta i vettori della seconda base nella base canonica.
Provo a mandare una email all'autore (del resto è scritto sul sito che sono gradite segnalazioni di imprecisioni o errori). Vediamo cosa mi dice
"Consideriamo lo spazio vettoriale $RR^3[x]$, la sua base canonica $q_1(x) := 1$, $q_2(x) := x$, $q_3(x) := x^2$ e la base formata dai polinomi $p_1(x):=1+x+x^2$, $p_2(x) := 1+x$, $p_3(x):=1$. Per trovare la matrice M di passaggio dalla base canonica alla seconda base dobbiamo esprimere ciascuno dei polinomi $p_1(x)$, $p_2(x)$ e $p_3(x)$ come combinazione lineare dei polinomi $q_1(x)$ , $q_2(x)$, $q_3(x)$"
ma in realtà questa matrice fa l'esatto opposto. Infatti il risultato è:
$M=((1,1,1),(1,1,0),(1,0,0))$
Se consideriamo il vettore $V=[3 4 5]^t$ scritto nella base canonica, così come dice nel testo il vettore delle cordinate per la seconda base dovrebbe essere dato da $M*V$. Ma
$M*V=[12 7 3]^t=22+19x+12x^2=[22 19 12]$
Se invece assumiamo che V fosse stato scritto nella seconda base, avremmo $[3 4 5]=12+7x+3x^2=[12 7 3]$ e tutto torna. Quindi M porta i vettori della seconda base nella base canonica.
Provo a mandare una email all'autore (del resto è scritto sul sito che sono gradite segnalazioni di imprecisioni o errori). Vediamo cosa mi dice
Comunque grazie per l'aiuto speculor
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