Chiarimenti sul prodotto scalare
Salve a tutti, mi rivolgo a voi per dei forti dubbi che ho riguardo al prodotto scalare tra vettori.
In particolare non riesco a capire come sia possibile conciliare queste due forme diverse in cui è definita l'operazione binaria di prodotto scalare (per semplicità nelle definizioni mi riferisco ad $RR^2$, dato che la questione è solo di concetto):
Siano $v=(v_1, v_2)$ e $w=(w_1,w_2)$ due vettori distinti di $RR^2$:
In particolare non riesco a capire come sia possibile conciliare queste due forme diverse in cui è definita l'operazione binaria di prodotto scalare (per semplicità nelle definizioni mi riferisco ad $RR^2$, dato che la questione è solo di concetto):
Siano $v=(v_1, v_2)$ e $w=(w_1,w_2)$ due vettori distinti di $RR^2$:
- (1)In algebra lineare il prodotto scalare viene normalmente definito come $v*w=v_1w_1+v_2w_2$
(2)In fisica invece, come e nella parte iniziale del mio corso di algebra lineare, il prodotto scalare è definito come $v*w=||v|| ||w|| cos \alpha$ dove $\alpha$ è l'angolo compreso tra i due vettori (e minore o uguale a 90°)
[/list:u:2nmv4kbz]
Non riesco a capiere come mai si usino due definizioni diverse per la stessa operazione.
Inoltre sto impazzendo per cercare di capire il significato geometrico delle due definizioni, non lo riesco proprio a cogliere.
Ringrazio in anticipo per l'aiuto, Lorenzo
Risposte
(e minore o uguale a 90°)Vuoi dire a 180°, cioè l'angolo convesso compreso tra i due vettori.
Ti passo un paio di link a due discussioni precedenti:
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 40507.html
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 38807.html
Ma se vuoi ne possiamo riparlare.
Grazie per i link, cercando nel forum non li avevo trovati. Ora ho capito da dove sorgevano i miei dubbi: non avevo chiaro cosa veniva definito e cosa invece dimostrato.
Messo in chiaro questo, ora posso spiegare come mai mi erano venuti dubbi di questo genere: tutto è nato dallo studio del metodo di ortonormalizzazione di Gram Schmidt.
Leggendo da Wiki non riuscivo (e tuttora non riesco) a capire come definiscono la funzione $"proj"_u v$ che proietta il vettore $v$ in modo ortogonale sul vettore $u$.
http://it.wikipedia.org/wiki/Ortogonali ... am-Schmidt
Ho provato a capire da dove è ricavata quella formula partendo dalla definizione geometrica di prodotto scalare (quello col coseno).
Messo in chiaro questo, ora posso spiegare come mai mi erano venuti dubbi di questo genere: tutto è nato dallo studio del metodo di ortonormalizzazione di Gram Schmidt.
Leggendo da Wiki non riuscivo (e tuttora non riesco) a capire come definiscono la funzione $"proj"_u v$ che proietta il vettore $v$ in modo ortogonale sul vettore $u$.
http://it.wikipedia.org/wiki/Ortogonali ... am-Schmidt
Ho provato a capire da dove è ricavata quella formula partendo dalla definizione geometrica di prodotto scalare (quello col coseno).
- Dati due vettori $u$ e $v$ di $RR^2$ (per semplicità scrivo sempre in $RR^2$) la lunghezza della proiezione ortogonale del vettore $v$ su $u$ è uguale (per le regole di trigonometria) a $||v|| cos \alpha$ (1), dove $\alpha$ è l'angolo compreso tra i due vettori.
Ma $cos \alpha$ lo si può definire come $cos \alpha =(u*v)/(||u|| ||v||)$ (peraltro questa è la definizione più appropriata perchè vale anche se il punto di applicazione dei due vettori non è lo stesso).
Dunque sostituendo nella (1) si ottiene che la lunghezza della proiezoine è $||v||(u*v)/(||u|| ||v||)$, semplificando $||v||$ quindi vale $(u*v)/(||u||)$
Questo valore però è uno scalare, e il nostro obiettivo invece è di avere un vettore con stesse direzione, verso e punto di applicazione di $u$. Quindi la cosa più giusta da fare sarebbe di moltiplicare il vettore $u$ per lo scalare $(u*v)/(||u||)$, e poi dividere tutto per la norma di $u$.
Il mio risultato è che il vettore proiezione ortogonale del vettore $v$ su $u$ è $(u*v)/(||u||||u||)u$, diversamente da quello che dice wiki.[/list:u:3co3r3eu]
Sono convinto che mi manchi qualche passaggetto, o di aver commesso qualche errore nei calcoli.
PS: mi rendo conto che li mio modo di esprimermi non sia dei migliori, sto continuamente usando termini come "lunghezza" o "punto di applicazione", nativi dei vattori geometrici, su vettori algebrici. Spero che i matematici che leggono non comincino ad insultarmi
Il tuo risultato è quello giusto. Forse wiki richiede nelle ipotesi che $u$ sia un versore?
[edit]
Mi pare che dite la stessa cosa.
Wikipedia dice:
[tex]\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,\mathbf{v} = {\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle\over\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u}[/tex]
Tu invece dici
[tex]\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,\mathbf{v} = {\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle\over \lVert \mathbf{u} \rVert ^2}\mathbf{u}[/tex]
Giusto? Se è così le due espressioni sono uguali.
[edit]
Mi pare che dite la stessa cosa.
Wikipedia dice:
[tex]\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,\mathbf{v} = {\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle\over\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u}[/tex]
Tu invece dici
[tex]\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,\mathbf{v} = {\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle\over \lVert \mathbf{u} \rVert ^2}\mathbf{u}[/tex]
Giusto? Se è così le due espressioni sono uguali.
Ho capito!
La norma è per definizione $||u||:=sqrt(u*u)$ quindi $||u||||u|=sqrt(u*u) sqrt(u*u)=(sqrt(u*u))^2=u*u$ dove $*$ è il prodotto scalare.
Inoltre nel caso in cui $u$ fosse stato un versore la formula sarebbe diventata ancora più semplice. Essendo $||u||=1$ per definizione di versore, il vettore proiezione sarebbe stato $(v*u)/(1) u=(v*u) u$
La norma è per definizione $||u||:=sqrt(u*u)$ quindi $||u||||u|=sqrt(u*u) sqrt(u*u)=(sqrt(u*u))^2=u*u$ dove $*$ è il prodotto scalare.
Inoltre nel caso in cui $u$ fosse stato un versore la formula sarebbe diventata ancora più semplice. Essendo $||u||=1$ per definizione di versore, il vettore proiezione sarebbe stato $(v*u)/(1) u=(v*u) u$
Esatto.
Grazie mille dell'aiuto dissonance 
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