Chiarimenti su congruenza e similitudine di figure piane
allora, stavo rileggendo le definizioni di congruenza e similitudine delle figure piane, dato che lunedì ho gli orali (ultimo anno di liceo) e mi sono sorti parecchi dubbi....
procediamo con ordine....
i miei libri di liceo definiscono così la conguruenza: due figure piane sono congruenti se sono sovrapponibili punto a punto l'una sull'altra mediante un movimento rigido.
Bene: cercando sul web cosa sono i movimenti rigidi, ho trovato che sono movimenti rigidi le trasformazioni geometriche isometriche, cioè le isometrie: traslazione, rotazione, simmetria. Ora, queste trasformazioni geometriche possono avvenire sia nello spazio sia nel piano: se la traslazione avviene nello spazio, il trasformato di una figura piana si trova su un altro piano, diverso da quello su cui giace la figura piana di partenza, e, di conseguenza, la figura originale e il suo trasformato non sono sovrapponibili; se, invece, la traslazione avviene nel piano è tutto a posto. Per quanto riguarda la simmetria, fissato un punto $O$ o una retta $r$ sullo stesso piano su cui giace la figura di partenza, il trasformato giace ancora sullo stesso piano e nemmeno ci sono problemi. Problemi maggiori sorgono con la rotazione: se si fa una rotazione centrale (cioè riferita a un punto) basta fissare il punto $O$ di modo che questo appartenga al piano della figura da trasformare e siamo a posto, ma se si fa una rotazione assiale, anche se si fissa la retta che sarà asse di rotazione di modo che essa appartenga al piano della figura piana iniziale, la rotazione assiale si esegue nello spazio e non nel piano, ma, se l'angolo di rotazione è $180°$, alla fine il trasformato si trova sullo stesso piano della figura iniziale.
Quindi mi chiedo: tra le trasformazioni isometriche cui si fa riferimento per la congruenza delle figure piane posso includere anche le rotazioni assiali, nonostante queste avvengano nello spazio, purchè l'angolo della rotazione sia $180°$?
passiamo poi ai criteri di congruenza per i triangoli....per chirezza di esposizione vi riporto come i miei libri li enunciano:
primo criterio due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso
secondo criterio due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e gli angoli ad esso adiacenti
terzo criterio due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati
come potete vedere ricorre sempre l'avverbio ordinatamente il cui uso è secondo me inutile, vi spiego perchè: sia $r$ una retta che giace su un certo piano in posizione verticale per l'osservatore; a sinistra di questa retta faccio un triangolo di vertici $A$, $B$, $C$; fatto siò, eseguo una simmetria assiale e ottengo alla destra di questa retta un nuovo triangolo di vertici $A'$, $B'$ e $C'$: in questo modo $A'$ è il corrispondente di $A$, poi $B'$ è il corrispondente di $B$ e allo stesso modo $C'$ è il corrispondente di $C$; poichè ho fatto una simmetria, i due triangoli sono evidentemente congruenti. A questo punto, supponiamo di leggere i vertici del primo triangolo in senso orario a partire dal vertice $B$ e supponiamo che questi si susseguano nell'ordine $B$ - $C$ - $A$; poichè ho fatto una simmetria assiale i vertci del triangolo trasformato, se vengono letti anche loro in senso orario e a partire dal vertice $B'$, si susseguono nell'ordine $B'$ - $A'$ - $C'$: questo significa che, fissata una orientazione che è la stessa per le due figura, gli elementi corrispondenti non si susseguono nello stesso ordine e, quindi, se quell'ordinamente che si usa nella formulazione dei criteri, vuole significare che, fissata una orientazione, gli elementi corrispondenti devono susseguirsi nello stesso ordine, allora l'ordinatamente diventa inutile, perchè è evidente che nel caso appena trattato le figure sono congruenti ma, fissata l'orientazione, gli elementi corrispondenti si susseguono in ordine diverso.
Se, invece, quell'odinatamente vuole significare che gli elementi corripsondenti devono susseguirsi con lo stesso orsine a meno dell'orientazione delle figure, nei triangoli è ugualmente inutile, perchè, a meno dell'orientazione, essendo tre le tipologie di elementi corrispondenti (tre lati, tre vertci, tre angoli), gli elementi corrispondenti si susseguono sempre nello stesso ordine.
Quindi, se quell'ordinatamente non si intende a meno dell'orientazione delle figure è inutile perchè sbagliato, se si intende a meno dell'orientazione è superfluo per i triangoli ed è opportuno solo per le figure piane con più di $3$ lati....giusto?
se invece vuole significare quelche altra cosa, qualcuno può spiegarmi cosa vuole significare?
per quanto rigurda poi la similitudine delle figure piane, i miei libri dicono che due poligoni sono simili se hanno gli angoli ordinatamente uguali e i lati omologhi in proporzione e anche nei criteri di similitudine per i triangoli ricorre l'avverbio ordinatamente. Ma essendo la similitudine il prodotto di una omotetia per una simmetria, se dopo l'omotetia faccio una simmetria assiale ricado nella stessa situazione che ho descritto per la congruenza a proposito dell'ordine con cui si susseguono i vertici corrispondenti e, quindi, anche per la similitudine valgono le stesse considerazioni: se quell'ordinatamente non si intende a meno dell'orientazione delle figure è inutile perchè sbagliato, se si intende a meno dell'orientazione è superfluo per i triangoli ed è opportuno solo per le figure piane con più di $3$ lati....giusto?
se invece vuole significare quelche altra cosa, qualcuno può spiegarmi cosa vuole significare?
io penso che quell'ordinatamente debba intendersi a meno dell'orientazione delle figure perchè 1) la simmetria assiale è un movimento rigido che però inverte l'orientazione delle figure 2) alcuni teoremi di geometria (dimostrazione che la bisttrice è un luogo, teorema delle tangenti a una circonferenza, teorema delle corde) usano figure che si corrispondono in una simmetria assiale e in questi teoremi si dice che le figure sono congruenti (se l'ordinatamente fosse da intendersi strettamente legato all'orientazione delle figure ciò non sarebbe vero perchè in untriangolo i vertici si disporrebbero con l'ordine (in senso orario) $A$ - $B$ - $C$ e nell'altro i corrispondenti (col senso orario) si troverebbero non ugualmente ordinatai: $A'$ - $C'$ - $B'$)
in più questa cosa dell'ordinatamente non compare in tutte le enunciazioni dei criteri di congruenza (su internet non compare sempre questo avverbio) e in alcuni casi è sostituito da rispettivamente (molto più corretto perchè rende l'idea della corrispondenza nella congruenza o nella similitudine)
l'ordinatamente (a meno dell'orientazione) è però necessario con le figure con più di tre lati (se non c'è possibilità di ordinare gli elementi corrispondenti allo stesso modo a meno dell'orientazioni nessuna trasformazione isometrica permette la sovrapposizione punto a punto)
attendo con impazienza le vostre delucidazioni
per i regolatori del forum: il topic è prsente pure in "MEDIE E SUPERIORI" ma poichè ancora nessuno è stato in grado di rispondere ho pensato che magari quì qualcuno lo avrebbe fatto, ad ogni modo, se riterrete opportuno cancellare uno dei due topic, competenza vostra....spero di non aver creato disturbo con questa "doppia giocata"
qualora fosse successo chiedo scusa 
procediamo con ordine....
i miei libri di liceo definiscono così la conguruenza: due figure piane sono congruenti se sono sovrapponibili punto a punto l'una sull'altra mediante un movimento rigido.
Bene: cercando sul web cosa sono i movimenti rigidi, ho trovato che sono movimenti rigidi le trasformazioni geometriche isometriche, cioè le isometrie: traslazione, rotazione, simmetria. Ora, queste trasformazioni geometriche possono avvenire sia nello spazio sia nel piano: se la traslazione avviene nello spazio, il trasformato di una figura piana si trova su un altro piano, diverso da quello su cui giace la figura piana di partenza, e, di conseguenza, la figura originale e il suo trasformato non sono sovrapponibili; se, invece, la traslazione avviene nel piano è tutto a posto. Per quanto riguarda la simmetria, fissato un punto $O$ o una retta $r$ sullo stesso piano su cui giace la figura di partenza, il trasformato giace ancora sullo stesso piano e nemmeno ci sono problemi. Problemi maggiori sorgono con la rotazione: se si fa una rotazione centrale (cioè riferita a un punto) basta fissare il punto $O$ di modo che questo appartenga al piano della figura da trasformare e siamo a posto, ma se si fa una rotazione assiale, anche se si fissa la retta che sarà asse di rotazione di modo che essa appartenga al piano della figura piana iniziale, la rotazione assiale si esegue nello spazio e non nel piano, ma, se l'angolo di rotazione è $180°$, alla fine il trasformato si trova sullo stesso piano della figura iniziale.
Quindi mi chiedo: tra le trasformazioni isometriche cui si fa riferimento per la congruenza delle figure piane posso includere anche le rotazioni assiali, nonostante queste avvengano nello spazio, purchè l'angolo della rotazione sia $180°$?
passiamo poi ai criteri di congruenza per i triangoli....per chirezza di esposizione vi riporto come i miei libri li enunciano:
primo criterio due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso
secondo criterio due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e gli angoli ad esso adiacenti
terzo criterio due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati
come potete vedere ricorre sempre l'avverbio ordinatamente il cui uso è secondo me inutile, vi spiego perchè: sia $r$ una retta che giace su un certo piano in posizione verticale per l'osservatore; a sinistra di questa retta faccio un triangolo di vertici $A$, $B$, $C$; fatto siò, eseguo una simmetria assiale e ottengo alla destra di questa retta un nuovo triangolo di vertici $A'$, $B'$ e $C'$: in questo modo $A'$ è il corrispondente di $A$, poi $B'$ è il corrispondente di $B$ e allo stesso modo $C'$ è il corrispondente di $C$; poichè ho fatto una simmetria, i due triangoli sono evidentemente congruenti. A questo punto, supponiamo di leggere i vertici del primo triangolo in senso orario a partire dal vertice $B$ e supponiamo che questi si susseguano nell'ordine $B$ - $C$ - $A$; poichè ho fatto una simmetria assiale i vertci del triangolo trasformato, se vengono letti anche loro in senso orario e a partire dal vertice $B'$, si susseguono nell'ordine $B'$ - $A'$ - $C'$: questo significa che, fissata una orientazione che è la stessa per le due figura, gli elementi corrispondenti non si susseguono nello stesso ordine e, quindi, se quell'ordinamente che si usa nella formulazione dei criteri, vuole significare che, fissata una orientazione, gli elementi corrispondenti devono susseguirsi nello stesso ordine, allora l'ordinatamente diventa inutile, perchè è evidente che nel caso appena trattato le figure sono congruenti ma, fissata l'orientazione, gli elementi corrispondenti si susseguono in ordine diverso.
Se, invece, quell'odinatamente vuole significare che gli elementi corripsondenti devono susseguirsi con lo stesso orsine a meno dell'orientazione delle figure, nei triangoli è ugualmente inutile, perchè, a meno dell'orientazione, essendo tre le tipologie di elementi corrispondenti (tre lati, tre vertci, tre angoli), gli elementi corrispondenti si susseguono sempre nello stesso ordine.
Quindi, se quell'ordinatamente non si intende a meno dell'orientazione delle figure è inutile perchè sbagliato, se si intende a meno dell'orientazione è superfluo per i triangoli ed è opportuno solo per le figure piane con più di $3$ lati....giusto?
se invece vuole significare quelche altra cosa, qualcuno può spiegarmi cosa vuole significare?
per quanto rigurda poi la similitudine delle figure piane, i miei libri dicono che due poligoni sono simili se hanno gli angoli ordinatamente uguali e i lati omologhi in proporzione e anche nei criteri di similitudine per i triangoli ricorre l'avverbio ordinatamente. Ma essendo la similitudine il prodotto di una omotetia per una simmetria, se dopo l'omotetia faccio una simmetria assiale ricado nella stessa situazione che ho descritto per la congruenza a proposito dell'ordine con cui si susseguono i vertici corrispondenti e, quindi, anche per la similitudine valgono le stesse considerazioni: se quell'ordinatamente non si intende a meno dell'orientazione delle figure è inutile perchè sbagliato, se si intende a meno dell'orientazione è superfluo per i triangoli ed è opportuno solo per le figure piane con più di $3$ lati....giusto?
se invece vuole significare quelche altra cosa, qualcuno può spiegarmi cosa vuole significare?
io penso che quell'ordinatamente debba intendersi a meno dell'orientazione delle figure perchè 1) la simmetria assiale è un movimento rigido che però inverte l'orientazione delle figure 2) alcuni teoremi di geometria (dimostrazione che la bisttrice è un luogo, teorema delle tangenti a una circonferenza, teorema delle corde) usano figure che si corrispondono in una simmetria assiale e in questi teoremi si dice che le figure sono congruenti (se l'ordinatamente fosse da intendersi strettamente legato all'orientazione delle figure ciò non sarebbe vero perchè in untriangolo i vertici si disporrebbero con l'ordine (in senso orario) $A$ - $B$ - $C$ e nell'altro i corrispondenti (col senso orario) si troverebbero non ugualmente ordinatai: $A'$ - $C'$ - $B'$)
in più questa cosa dell'ordinatamente non compare in tutte le enunciazioni dei criteri di congruenza (su internet non compare sempre questo avverbio) e in alcuni casi è sostituito da rispettivamente (molto più corretto perchè rende l'idea della corrispondenza nella congruenza o nella similitudine)
l'ordinatamente (a meno dell'orientazione) è però necessario con le figure con più di tre lati (se non c'è possibilità di ordinare gli elementi corrispondenti allo stesso modo a meno dell'orientazioni nessuna trasformazione isometrica permette la sovrapposizione punto a punto)
attendo con impazienza le vostre delucidazioni
per i regolatori del forum: il topic è prsente pure in "MEDIE E SUPERIORI" ma poichè ancora nessuno è stato in grado di rispondere ho pensato che magari quì qualcuno lo avrebbe fatto, ad ogni modo, se riterrete opportuno cancellare uno dei due topic, competenza vostra....spero di non aver creato disturbo con questa "doppia giocata"
qualora fosse successo chiedo scusa
Risposte
Caro Wizard, il problema e' che la geometria in questo modo non la si studia che nei licei: si tratta infatti di un approccio intrinsecamente poco rigoroso, e per rendere tutto il discorso accettabile dal punto di vista delle esigenze attuali bisognerebbe rifondare tutto da capo.
D'altra parte, la tua esigenza di rigore e' ammirevole e sara' soddisfatta senz'altro nel corso dei tuoi futuri studi universitari; come scoprirai, l'approccio moderno alla geometria e' ben diverso. Per il momento, come dicono a Napoli, si 'o lietto e' stritto, cocchete mmiezo.
D'altra parte, la tua esigenza di rigore e' ammirevole e sara' soddisfatta senz'altro nel corso dei tuoi futuri studi universitari; come scoprirai, l'approccio moderno alla geometria e' ben diverso. Per il momento, come dicono a Napoli, si 'o lietto e' stritto, cocchete mmiezo.
e come disse garibaldi (mo non mi ricordo se veramente lo disse lui) "Obbedisco"
a parte gli scherzi...va bene...
a parte gli scherzi...va bene...
"Sandokan.":
Caro Wizard, il problema e' che la geometria in questo modo non la si studia che nei licei: si tratta infatti di un approccio intrinsecamente poco rigoroso, e per rendere tutto il discorso accettabile dal punto di vista delle esigenze attuali bisognerebbe rifondare tutto da capo.
D'altra parte, la tua esigenza di rigore e' ammirevole e sara' soddisfatta senz'altro nel corso dei tuoi futuri studi universitari; come scoprirai, l'approccio moderno alla geometria e' ben diverso. Per il momento, come dicono a Napoli, si 'o lietto e' stritto, cocchete mmiezo.
Completamente d'accordo. Le esigenze di rigore del nostro Wizard potranno essere completamente soddisfatte nei suoi studi universitari di Matematica.
beh...se dite così significa che un poco di mancanza di rigore in queste definizioni c'è...almeno non sono pazzo
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