Chiarimenti sottospazi vettoriali di polinomi
Sto lavorando su basi e sottospazi vettoriali, e svolgendo i vari esercizi mi "blocco" però quando incontro sottospazi vettoriali di polinomi dei quali calcolare basi o altro. Non riesco proprio ad impostare gli esercizi. Eccone ad esempio uno: Si consideri il seguente insieme $ U={xp(x), p(x)in RR[x]<= 2} $
(a) Provare che U è un sottospazio vettoriale di $ RR[x]<= 3 $
(b) Trovare la dimensione di U
(c) Dopo aver verificato che i polinomi $ p_1(x)= x^3 + x, p_2 (x)=x^3-x^2,p_3(x)=x^3+x^2+x $ sono una base per U, trovare le coordinate in tale base del polinomio q(x)=2x+3x^2-x^3.
Poichè il grado massimo del polinomio è 2, vuol dire che gli elementi di $ RR[x]<= 2 $ saranno genericamente della forma $ x^2+x+1 $? E di conseguenza una base per questo insieme sarà composta da una base del tipo {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1}? E se si come relaziono questo col x(px) presente nell'esercizio? I punti (a) e (b) so teoricamente come svolgerli, solo che non riesco ad esprimere questi polinomi nella maniera corretta
help!
(a) Provare che U è un sottospazio vettoriale di $ RR[x]<= 3 $
(b) Trovare la dimensione di U
(c) Dopo aver verificato che i polinomi $ p_1(x)= x^3 + x, p_2 (x)=x^3-x^2,p_3(x)=x^3+x^2+x $ sono una base per U, trovare le coordinate in tale base del polinomio q(x)=2x+3x^2-x^3.
Poichè il grado massimo del polinomio è 2, vuol dire che gli elementi di $ RR[x]<= 2 $ saranno genericamente della forma $ x^2+x+1 $? E di conseguenza una base per questo insieme sarà composta da una base del tipo {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1}? E se si come relaziono questo col x(px) presente nell'esercizio? I punti (a) e (b) so teoricamente come svolgerli, solo che non riesco ad esprimere questi polinomi nella maniera corretta
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Risposte
gli elementi di $U$ sono del tipo $ax^3+bx^2+cx$ con a,b,c non necessariamente tutti diversi da zero
(a) è chiaro che se combini linearmente 2 elementi di U ottieni ancora un elemento di U
quindi U è un sottospazio vettoriale
(b) una base di U è quella costituita dai polinomi $x,x^2,x^3$
la dimensione di U è 3
(c) è ovvio che $p_1(x) $ e $p_2(x) $ sono linearmente indipendenti ; inoltre $p_3(x)$ non si può ottenere come loro combinazione lineare
quindi,$p_1,p_2,p_3$ formano una base di U
per trovare i coefficienti $alpha,beta,gamma$ di qx) rispetto a questa base devi risolvere l'equazione
$alphap_1(x)+betap_2(x)+gammap_3(x)=q(x)$ applicando il principio di identità dei polinomi
(a) è chiaro che se combini linearmente 2 elementi di U ottieni ancora un elemento di U
quindi U è un sottospazio vettoriale
(b) una base di U è quella costituita dai polinomi $x,x^2,x^3$
la dimensione di U è 3
(c) è ovvio che $p_1(x) $ e $p_2(x) $ sono linearmente indipendenti ; inoltre $p_3(x)$ non si può ottenere come loro combinazione lineare
quindi,$p_1,p_2,p_3$ formano una base di U
per trovare i coefficienti $alpha,beta,gamma$ di qx) rispetto a questa base devi risolvere l'equazione
$alphap_1(x)+betap_2(x)+gammap_3(x)=q(x)$ applicando il principio di identità dei polinomi
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