Chiarimenti Nucleo Immagine Biettività ecc

ledrox
Salve, vorrei sapere se qlc sa chiarirmi in modo semplice cosa si intende per nucleo, immagine, surriettività, iniettività e biettività (magari con qlc esempio pratico)
Grazie - Cordiali Saluti
Raf

Risposte
Lord K
Nucleo: Sia $f: Dom rightarrow C$ funzione, il nucleo è l'insieme degli elementi del dominio che vengono mandati nell'elemento neutro del codominio, denominato usualmente con $Kerf$.

Immagine: Sia $f:Dom rightarrow C$ funzione, l'immagine è l'insieme degli elementi del codominio che risultano essere delle immagini degli elementi del dominio, ovvero: $c in C: EE d in Dom: f(d)=c$, denominato usualmente con $Imf$

Suriettività: Sia $f:Dom rightarrow C$ funzione, $f$ si dice suriettiva se $Imf \equiv C$ ovvero se tutti gli elementi del codominio vengono raggiunti mediante $f$ da elementi del dominio.

Iniettività: Sia $f:Dom rightarrow C$ funzione, $f$ si dice iniettiva se dall'essere $x!=y$ abbiamo che tramite $f$, $f(x)!=f(y)$, detto anche elementi distinti vengono mandati in elementi distinti.

Biettività: Sia $f:Dom rightarrow C$ funzione, $f$ si dice biettiva se risulta essere sia suriettiva che iniettiva.

Lord K
Esempi pratici:

1)Sia $f(x)=x(x-1)$ dove $f:RR rightarrow RR$

Nucleo: $Kerf = {0,1}$
Immagine: $Imf = [-1/4,+oo)$

Suriettiva? No, perchè $Imf!=RR$

Iniettiva? No, perchè $f(0)=f(1)$ ma $0!=1$

Biettiva? No per ragioni ovvie.

2) Sia $f(x)=x(x-1)$ dove $f:[1/2,+oo) rightarrow [-1/4,+oo)$

Nucleo: $Kerf = {1}$
Immagine: $Imf = [-1/4,+oo)$

Suriettiva? Sì

Iniettiva? Sì

Biettiva? Sì

Prova a verificarle formalmente!

Martino
Volevo solo dire che (che io sappia) di solito non si parla di nucleo per applicazioni qualsiasi, ma solo per morfismi di gruppi (in particolare di spazi vettoriali o anelli). In questo caso l'iniettivita' e' equivalente all'annullarsi del nucleo.

ledrox
Grazie mille Lord, molto esaustivo per quello che avevo chiesto. Grazie cmq anke agli altri. Cordiali Saluti

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