Chiarimenti Nucleo Immagine Biettività ecc

[ledrox]

Salve, vorrei sapere se qlc sa chiarirmi in modo semplice cosa si intende per nucleo, immagine, surriettività, iniettività e biettività (magari con qlc esempio pratico)
Grazie - Cordiali Saluti
Raf

[Lord K]

Nucleo: Sia $f: Dom rightarrow C$ funzione, il nucleo è l'insieme degli elementi del dominio che vengono mandati nell'elemento neutro del codominio, denominato usualmente con $Kerf$.

Immagine: Sia $f:Dom rightarrow C$ funzione, l'immagine è l'insieme degli elementi del codominio che risultano essere delle immagini degli elementi del dominio, ovvero: $c in C: EE d in Dom: f(d)=c$, denominato usualmente con $Imf$

Suriettività: Sia $f:Dom rightarrow C$ funzione, $f$ si dice suriettiva se $Imf \equiv C$ ovvero se tutti gli elementi del codominio vengono raggiunti mediante $f$ da elementi del dominio.

Iniettività: Sia $f:Dom rightarrow C$ funzione, $f$ si dice iniettiva se dall'essere $x!=y$ abbiamo che tramite $f$, $f(x)!=f(y)$, detto anche elementi distinti vengono mandati in elementi distinti.

Biettività: Sia $f:Dom rightarrow C$ funzione, $f$ si dice biettiva se risulta essere sia suriettiva che iniettiva.

[Lord K]

Esempi pratici:

1)Sia $f(x)=x(x-1)$ dove $f:RR rightarrow RR$

Nucleo: $Kerf = {0,1}$
Immagine: $Imf = [-1/4,+oo)$

Suriettiva? No, perchè $Imf!=RR$

Iniettiva? No, perchè $f(0)=f(1)$ ma $0!=1$

Biettiva? No per ragioni ovvie.

2) Sia $f(x)=x(x-1)$ dove $f:[1/2,+oo) rightarrow [-1/4,+oo)$

Nucleo: $Kerf = {1}$
Immagine: $Imf = [-1/4,+oo)$

Suriettiva? Sì

Iniettiva? Sì

Biettiva? Sì

Prova a verificarle formalmente!

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Volevo solo dire che (che io sappia) di solito non si parla di nucleo per applicazioni qualsiasi, ma solo per morfismi di gruppi (in particolare di spazi vettoriali o anelli). In questo caso l'iniettivita' e' equivalente all'annullarsi del nucleo.

[ledrox]

Grazie mille Lord, molto esaustivo per quello che avevo chiesto. Grazie cmq anke agli altri. Cordiali Saluti