Chiarimenti Ker, Immagine,e parametrica
Devo sostenere questo maledetto esame e sono all'inizio. Mi sono fatto la teoria, ma con la pratica mi risulta molto piu complesso. Vediamo se grazie a voi riesco a chiarire meglio i miei dubbi.
Ker, insieme di el del dominio che hanno per Immagine lo 0.
$varphi$ $((2 ,2,0),(1,0,1),(0,1,-1))$
mi creo il sistema ponendo tutto = 0.
$\{(2x1 + 2x2 = 0),(x1 + x3 = 0),(x2 - x3 = 0):}$
La dimensione del Ker è uguale alla nullità in parametrica, e uguale al rank in cartesiana. Quindi come vedrete la mia trasformazione $varphi$ ha rango 2, ma le equazioni in cartesiana sono 3. Perche?
Im($varphi$) = $((2 ,1,0),(2,0,1),(0,1,-1))$ ha rango 2. Per rappresentarla in parametrica, non basterebbe riscrivere i 2 vettori? Supponiamo mi si chieda una base di Im($varphi$): non posso dire
Im($varphi$) = L((2,0,1),(0,1,-1)) (cioè riscrivendo i vettori LI) ?
In caso contrario, come ricavo la parametrica dalla mia $varphi$ ?
per ora ho queste domande, spero nelle vostre risposte. grazie
Ker, insieme di el del dominio che hanno per Immagine lo 0.
$varphi$ $((2 ,2,0),(1,0,1),(0,1,-1))$
mi creo il sistema ponendo tutto = 0.
$\{(2x1 + 2x2 = 0),(x1 + x3 = 0),(x2 - x3 = 0):}$
La dimensione del Ker è uguale alla nullità in parametrica, e uguale al rank in cartesiana. Quindi come vedrete la mia trasformazione $varphi$ ha rango 2, ma le equazioni in cartesiana sono 3. Perche?
Im($varphi$) = $((2 ,1,0),(2,0,1),(0,1,-1))$ ha rango 2. Per rappresentarla in parametrica, non basterebbe riscrivere i 2 vettori? Supponiamo mi si chieda una base di Im($varphi$): non posso dire
Im($varphi$) = L((2,0,1),(0,1,-1)) (cioè riscrivendo i vettori LI) ?
In caso contrario, come ricavo la parametrica dalla mia $varphi$ ?
per ora ho queste domande, spero nelle vostre risposte. grazie
Risposte
"starsuper":
Devo sostenere questo maledetto esame e sono all'inizio. Mi sono fatto la teoria, ma con la pratica mi risulta molto piu complesso. Vediamo se grazie a voi riesco a chiarire meglio i miei dubbi.
Ker, insieme di el del dominio che hanno per Immagine lo 0.
$varphi$ $((2 ,2,0),(1,0,1),(0,1,-1))$
mi creo il sistema ponendo tutto = 0.
$\{(2x1 + 2x2 = 0),(x1 + x3 = 0),(x2 - x3 = 0):}$
La dimensione del Ker è uguale alla nullità in parametrica, e uguale al rank in cartesiana. Quindi come vedrete la mia trasformazione $varphi$ ha rango 2, ma le equazioni in cartesiana sono 3. Perche?
Lascia perdere il sistema, riduci la matrice a gradini e guardi quante righe tutte a 0 ci sono. Quella è la dimensione del Ker.
Im($varphi$) = $((2 ,1,0),(2,0,1),(0,1,-1))$ ha rango 2. Per rappresentarla in parametrica, non basterebbe riscrivere i 2 vettori? Supponiamo mi si chieda una base di Im($varphi$): non posso dire
Im($varphi$) = L((2,0,1),(0,1,-1)) (cioè riscrivendo i vettori LI) ?
In caso contrario, come ricavo la parametrica dalla mia $varphi$ ?
Quello che devi scrivere è un vettore che possa "spazzare" completamento l'immagine. Il vettore è perciò variabile, ed è funzione di due parametri liberi, che chiamiamo u, v.
Il primo vettore lo esprimiamo come $(2u,0,u)$. Sei d'accordo che quella cosa che ho scritto è un vettore che spazza il suo sottospazio ?
Prendiamo l'altro $(0,-v,v)$.
A questo punto l'immagine è combinazione lineare di questi due vettori, cioè $(2u,-v,u+v)$.
Per fare la combinazione lineare avrei dovuto scrivere altri due fattori a, b che moltiplicano i vettori. Ma non ci sono, perchè sono stati "assorbiti" da u, v, rispettivamente, che sono liberi.
per ora ho queste domande, spero nelle vostre risposte. grazie
prego
ringrazio entrambi innanzitutto.
@quinzio sinceramente ho capito poco il tuo ragionamento sulla rappresentazione parametrica, in particolare la parte "Il primo vettore lo esprimiamo come (2u,0,u). Sei d'accordo che quella cosa che ho scritto è un vettore che spazza il suo sottospazio ?Prendiamo l'altro (0,−v,v)."
@sergio
Hai ragione la mia scrittura è stata a dir poco scorretta, ma per scrivere sul forum ci impiego moltissimo tempo tra simboli e tutto quindi non ho scritto tutto. Mi torna tutto quello che dici, e quindi se non ho capito male, se mi si chiedesse una rappresentazione parametrica di $Im(varphi)$ potrei semplicemente prendermi i vettori LI della mia matrice ?
@quinzio sinceramente ho capito poco il tuo ragionamento sulla rappresentazione parametrica, in particolare la parte "Il primo vettore lo esprimiamo come (2u,0,u). Sei d'accordo che quella cosa che ho scritto è un vettore che spazza il suo sottospazio ?Prendiamo l'altro (0,−v,v)."
@sergio
Hai ragione la mia scrittura è stata a dir poco scorretta, ma per scrivere sul forum ci impiego moltissimo tempo tra simboli e tutto quindi non ho scritto tutto. Mi torna tutto quello che dici, e quindi se non ho capito male, se mi si chiedesse una rappresentazione parametrica di $Im(varphi)$ potrei semplicemente prendermi i vettori LI della mia matrice ?
s e t sono due parametri che mi stanno a siginificare tutte le possibili cl dei due vettori della base? Il passo successivo della paramerica non sarebbe allora il vettore generico dell' $Im(varphi)$ ?
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