Chi sono gli intorni di $\mathbf{0} \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$?
Come da titolo, non capisco che topologia si possa mettere su \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\).
Posso mettere la topologia prodotto? Parrebbe di sì, visto che nella definizione non ci sono vincoli sulla cardinalità. In tal caso allora dovrebbe valere la solita caratterizzazione degli aperti dei prodotti, e un intorno aperto di \(\mathbf{0} \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) dovrebbe essere un prodotto continuo di copie di \(\mathbb{R}\) \(\times\) il prodotto di un numero finito (o numerabile?) di intervallini del tipo \((-\epsilon, \epsilon)\), con \(\epsilon >0\) arbitrario. Però non so se funzioni, perché sono abituato a pensare a prodotti cartesiani numerabili...
Ringrazio.
Posso mettere la topologia prodotto? Parrebbe di sì, visto che nella definizione non ci sono vincoli sulla cardinalità. In tal caso allora dovrebbe valere la solita caratterizzazione degli aperti dei prodotti, e un intorno aperto di \(\mathbf{0} \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) dovrebbe essere un prodotto continuo di copie di \(\mathbb{R}\) \(\times\) il prodotto di un numero finito (o numerabile?) di intervallini del tipo \((-\epsilon, \epsilon)\), con \(\epsilon >0\) arbitrario. Però non so se funzioni, perché sono abituato a pensare a prodotti cartesiani numerabili...
Ringrazio.
Risposte
Puoi ovviamente mettere la topologia prodotto su qualsiasi spazio, ma in generale se fai cose troppo turpi uscirai da qualsiasi classe buona di spazi.
Un aperto della topologia prodotto e' della forma $\prod_\lambda U_\lambda$ dove esistono un numero finito $U_{\lambda_1},..., U_{\lambda_n}$ di insiemi che sono generici aperti di $\mathbb R$ e tutti gli altri (che sono una quantita' non numerabile) sono $\mathbb R$; allora dato che il prodotto e' commutativo a meno di un ovvio isomorfismo[1], un intorno d(ella funzione) zero e' fatto da $U_{\lambda_1}\times ...\times U_{\lambda_n}\times \mathbb R^{\mathbb R}$, dove tutti gli $U_{\lambda_i}$ sono aperti che contengono lo zero. Prendendo le palle di centro zero e raggio epsilon stai considerando una base di intorni connessi, che e' solo un po' piu' maneggevole.
[1] La $\mathbb R$ ad esponente infatti la devi considerare nel senso insiemistico, come il cardinale di $P(\mathbb N)$, possiamo chiamarlo $\aleph_1$, sperando che non arrivi qualche logico. Allora e' chiaro che qualsiasi cofinito in $\aleph_1$ ha la stessa cardinalita' $\aleph_1$ (una biiezione: ci dovrei pensare meglio, ma fissare il foglio con sufficiente sicumera dovrebbe convincerti che e' vero), e dunque si ha quel fatto.
Un aperto della topologia prodotto e' della forma $\prod_\lambda U_\lambda$ dove esistono un numero finito $U_{\lambda_1},..., U_{\lambda_n}$ di insiemi che sono generici aperti di $\mathbb R$ e tutti gli altri (che sono una quantita' non numerabile) sono $\mathbb R$; allora dato che il prodotto e' commutativo a meno di un ovvio isomorfismo[1], un intorno d(ella funzione) zero e' fatto da $U_{\lambda_1}\times ...\times U_{\lambda_n}\times \mathbb R^{\mathbb R}$, dove tutti gli $U_{\lambda_i}$ sono aperti che contengono lo zero. Prendendo le palle di centro zero e raggio epsilon stai considerando una base di intorni connessi, che e' solo un po' piu' maneggevole.
[1] La $\mathbb R$ ad esponente infatti la devi considerare nel senso insiemistico, come il cardinale di $P(\mathbb N)$, possiamo chiamarlo $\aleph_1$, sperando che non arrivi qualche logico. Allora e' chiaro che qualsiasi cofinito in $\aleph_1$ ha la stessa cardinalita' $\aleph_1$ (una biiezione: ci dovrei pensare meglio, ma fissare il foglio con sufficiente sicumera dovrebbe convincerti che e' vero), e dunque si ha quel fatto.
"killing_buddha":
Puoi ovviamente mettere la topologia prodotto su qualsiasi spazio, ma in generale se fai cose troppo turpi uscirai da qualsiasi classe buona di spazi.
Un aperto della topologia prodotto e' della forma $\prod_\lambda U_\lambda$ dove esistono un numero finito $U_{\lambda_1},..., U_{\lambda_n}$ di insiemi che sono generici aperti di $\mathbb R$ e tutti gli altri (che sono una quantita' non numerabile) sono $\mathbb R$; allora dato che il prodotto e' commutativo a meno di un ovvio isomorfismo[1], un intorno d(ella funzione) zero e' fatto da $U_{\lambda_1}\times ...\times U_{\lambda_n}\times \mathbb R^{\mathbb R}$, dove tutti gli $U_{\lambda_i}$ sono aperti che contengono lo zero. Prendendo le palle di centro zero e raggio epsilon stai considerando una base di intorni connessi, che e' solo un po' piu' maneggevole. [...]
Perfetto, quindi la mia intuizione - salvo qualche aggiustamento - era in sostanza corretta. Grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo