Chi riesce a spiegarmi come fare questo esercizio di algebra lineare sulle matrici (Null(A), Range(A), rank)?

[Play01]

Ho questa matrice A=
[ 1..2...1..0
0..-1...-1..1
1..0...-1..0
-1..-1...0..3 ]
Quale delle seguenti affermazioni è VERA e perchè?
a) Null(A)=span{A*1, A*2, A*3}
b)il vettore [1, -1, -1, 0]T appartiene allo spazio null(A)
c)Null(A)=span {(1 -1 1 0)T)}

Inoltre, sempre riferito a questo argomento, con la matrice B=
[ 1..5...-4..1...0
3..2...1...0...3
-1...1...-2..-1...0 ]
Quale è VERA e perchè?
a)rank(B)=2
b)Range(B)=span {(1 3 -1)T, (5 2 1)T, (1 0 -1)T}
c)Range(B)=span{A*1, A*2, A*3}

Grazie per la disponibilità!!

[gugo82]

Tentativi tuoi?

[Play01]

"gugo82":Tentativi tuoi?

Ho provato a ridurre le due matrici con il metodo di Gauss, ma dopo il primo passaggio non riesco ad andare avanti: posto dove sono arrivato.

ES1 Dopo il primo passo di gauss ottengo questa matrice. Applicando un altro passo non riesco ad andare avanti (scegliendo come pivot il -1 della seconda riga)
[1...2...1...0
0...-1...-1..1
0..-1...0...1
non riesco a calcolare l'ultima riga... ]

ES2
[1...5...-4...1...0
0..-13...13..-3..3
0...6...-6...0...0] dopo il primo passo ottengo questa matrice. Come faccio ad annullare il 6 e -6 dell ultima riga??
Non vorrei ci fossero dei metodi piu intuitivi e veloci per rispondere a questi esercizi che esulino dal calcolo tramite il metodo di Gauss...

[giuscri]

Riguardo all'esercizio 1. Saro' ciecato, ma non capisco come sei arrivato a

"Play01":\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ \ldots{} & \ldots{} & \ldots{} & \ldots{} \end{bmatrix}\]

e soprattutto cosa vuol dire che non riesci a calcolare la riga.

Domanda: tipicamente hai problemi con l'uso dell'algoritmo di Gauss? Perche' a me l'esercizio sembra parecchio standard.
Comunque, io procederei cosi:
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}\]
\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\
0 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} \qquad \fbox{\(R_3 - R_1 \\ R_4 + R_1\)}\]
E poi vai avanti cosi, trovando chi sono i generatori di \(\operatorname{Sol}(A,\pmb{0})\). A quel punto hai finito -piu' o meno.