Che cos'è la matrice trasposta?

[dissonance]

Indico con $cdot^T$ l'operazione di trasposizione e con $cdot^H$ quella di trasposizione e coniugazione (per matrici complesse).
La mia domanda è: quale può essere un concetto geometrico che "catturi" il senso di queste operazioni? Negli spazi vettoriali in generale so che esiste un principio, detto di dualità, che in qualche maniera fornisce una risposta.
Ma per il momento mi interessa il caso di spazi vettoriali reali (risp. complessi), euclidei (risp. hermitiani). In questi spazi, mi pare di capire, la dualità si può esprimere in termini di prodotto scalare (risp. hermitiano).
Quindi, se $V, W$ sono spazi vettoriali come sopra, di dimensione finita, e $phi:V\toW$ è lineare, detta $M$ una matrice associata a $phi$, a quale applicazione possiamo associare $M^T$ ($M^H$)?
Che relazione ci sarà tra i nuclei, le immagini, e i rispettivi complementi ortogonali di queste applicazioni?
E che succede se $phi:V\toV$?

[Megan00b]

Forse stai cercando questo:
Se f è un'applicazione lineare $V to W$ cui è associata la matrice A rispetto alle basi b1,b2 di V e W rispettivamente, se V* e W* sono gli spazi duali di V e W rispettivamente allora risulta definita l'applicazione lineare
$f^t(phi)=phi(f)$ di $W$*$ to V$* che è detta trasposta di f.
Allora $A^t$ è la matrice associata ad $f^t$ rispetto alle basi b1*,b2* indotte rispettivamente da b1 e b2.
Il resto sono conti.

[dissonance]

Sì, qui fai uso di quello a cui prima mi sono riferito come "principio di dualità".
Però, nel caso di spazi euclidei o hermitiani, penso che possiamo dare un'interpretazione più geometrica di questa operazione. Specialmente alla luce del fatto che, se $A\inM_n(RR)$, $B\inM_n(CC)$, allora (ho verificato prima...spero di non aver fatto errori):
$"ker"\ (A^T)=["im"\ (A)]^\bot$, $"ker"\ (B^H)=["im"\ (B)]^\bot$ (*)
Però non riesco a "visualizzare" geometricamente questo fatto.
[edit] (*) Questo vale anche per matrici $m times n$.