Centro e raggio di una circonferenza

[firebleade]

Ciao a tutti, sto studiando le circonferenze su un riferimento cartesiano R(O,x,y).
Siccome le dispense della mia prof non sono molto chiare e non hanno una spiegazione approfondita delle cose, ne approfitto per chiedere aiuto (sto facendo informatica e alle superiori non ero un asso in matematica, infatti cerco di recuperare le mie lacune. Quindi chiedo scusa se le mie domande possano sembrare banali).
La dispensa inizia con il definire la circonferenza come segue:
Fissato un numero reale r e un punto c di coordinate(alpha,beta) la condizione affinchè un generico punto P(x,y) appartenga alla circonferenza è espressa dall'equazione: (x-alpha)^2+(y-beta)^2=r^2
Sviluppando i calcoli:
x^2+y^2-2alphax-2betay+gamma=0
Fino a qui ci sono.
Poi dice che:
C(alpha,beta) con alpha=-a/2 e beta=-b/2;
r^2=(a/2)^2+(b/2)^2-c

Quindi le cose che non chiarisce sono:
1 Perchè alpha e beta rappresentano le coordinate del centro?
2 nell'equazione per trovare il raggio perchè ha messo a/2 al posto di x-apha? Ossia x-(-a/2)?

Perdonatemi se non ho messo aplha e beta in simboli ma sul telefono non so come fare

[Bokonon]

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto detto centro.
Fissato un centro di coordinate $ (alpha, beta) $ prendi il punto generico $(x,y)$ e calcoli la distanza al quadrato con pitagora. Questa distanza deve essere fissa è pari al raggio r.
Quindi $(x-alpha)^2+(y-beta)^2=r^2$
Sviluppi e trovi $x^2+y^2-2alphax-2betay+alpha^2+beta^2-r^2=0$
Visto che sono tutte costanti puoi sostituire e scrivere in modo "compatto" $x^2+y^2+ax-by+c=0$
Dove
$-2alpha=a$
$-2beta=b$
$alpha^2+beta^2-r^2=c$
Quindi se ti danno la forma cartesiana, per trovare il centro sai che $alpha=-a/2$ e $beta=-b/2$