Centro di una conica
Il centro di una conica nello spazio è giusto calcolarlo mettendo a sistema le derivate parziali rispetto ad x e ad y della conica???
Risposte
Allora, consideriamo la generica conica $C$ di equazione:
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
se operiamo la traslazione:
$\{(x=X+x_0), (y=Y+y_0):}$
l'equazione di $C$ diventa:
$aX^2+bXY+cY^2+(2ax_0+by_0+d)X+(bx_0+2cy_0+e)Y+(ax+bx_0y_0+cy+dx_0+ey_0+f)=0$
Si ha allora il seguente TEOREMA:
Il punto $O'=(x_0, y_0)$ è centro di simmetria di una conica $C$, se e solo se $(x_0, y_0)$ è soluzione del sistema $f_x=f_y=0$.
(dove con $f_x$ e $f_y$ ho indicato le derivate parziali).
La DIMOSTRAZIONE segue semplicemente dal fatto che la derivata parziale $f_x$ di $f(x,y)$ rispetto a $x$ è proprio $2ax+by+d$ e quella $f_y$ rispetto a $y$ è $bx+2cy+e$.
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
se operiamo la traslazione:
$\{(x=X+x_0), (y=Y+y_0):}$
l'equazione di $C$ diventa:
$aX^2+bXY+cY^2+(2ax_0+by_0+d)X+(bx_0+2cy_0+e)Y+(ax+bx_0y_0+cy+dx_0+ey_0+f)=0$
Si ha allora il seguente TEOREMA:
Il punto $O'=(x_0, y_0)$ è centro di simmetria di una conica $C$, se e solo se $(x_0, y_0)$ è soluzione del sistema $f_x=f_y=0$.
(dove con $f_x$ e $f_y$ ho indicato le derivate parziali).
La DIMOSTRAZIONE segue semplicemente dal fatto che la derivata parziale $f_x$ di $f(x,y)$ rispetto a $x$ è proprio $2ax+by+d$ e quella $f_y$ rispetto a $y$ è $bx+2cy+e$.
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